张宇考研数学：常见误区与深度解析

在考研数学的复习过程中，很多同学会遇到一些难以理解或容易混淆的问题。张宇老师的复习资料以其独特的讲解风格和深入浅出的分析方法，帮助考生攻克难关。以下整理了几个常见的疑问，并附上详细的解答，希望能为你的备考之路提供帮助。

问题一：定积分的换元法如何正确应用？

定积分的换元法是考研数学中的重点内容，很多同学在应用过程中容易出错。其实，换元法的关键在于正确选择换元函数和确定新的积分区间。例如，在计算定积分时，如果遇到被积函数中含有根式或三角函数，可以通过三角换元或根式换元简化积分。但换元后不仅要改变被积函数，还要相应地调整积分上下限。换元过程中要确保新变量的导数在积分区间内不为零，否则会导致积分结果错误。

举个例子，计算定积分 ∫₀¹ √(1-x2) dx 时，可以采用三角换元法。令 x = sinθ，则 dx = cosθ dθ，积分区间从 x=0 到 x=1 对应 θ=0 到 θ=π/2。换元后，原积分变为 ∫₀^π/2 cos2θ dθ。利用三角恒等式 cos2θ = (1+cos2θ)/2，可以进一步简化为 ∫₀^π/2 (1+cos2θ)/2 dθ。计算后得到结果为 π/4。这个过程中，换元函数的选择和积分区间的调整至关重要，稍有不慎就会导致错误。

问题二：如何理解反常积分的收敛性？

反常积分的收敛性是考研数学中的一个难点，很多同学对其概念理解不够透彻。反常积分主要分为两类：无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。判断反常积分的收敛性，通常采用比较判别法或极限比较判别法。例如，对于无穷区间上的反常积分 ∫₁^∞ 1/xp dx，当 p>1 时收敛，当 p≤1 时发散。这个结论可以通过比较法得到：当 x 足够大时，1/xp 与 1/xq (q>1) 的差异逐渐减小，而 ∫₁^∞ 1/xq dx 是收敛的，因此 ∫₁^∞ 1/xp dx 也收敛。

再比如，对于无界函数的反常积分 ∫₀¹ 1/xp dx，当 p<1 时收敛，当 p≥1 时发散。这个结论可以通过极限比较法验证：考虑极限 lim_x→0? x(1-p) / 1 = lim_x→0? x(1-p)，当 p<1 时，1-p>0，极限为 0；当 p≥1 时，1-p≤0，极限为无穷大。因此，只有当 p<1 时，原积分才收敛。这些判断方法需要结合具体问题灵活运用，不能生搬硬套。

问题三：级数求和时如何处理交错级数？

交错级数的求和是考研数学中的一个常见问题，很多同学在处理时容易忽略条件。交错级数通常采用莱布尼茨判别法来判断收敛性，其一般形式为 ∑(-1)(n+1) a_n，其中 a_n 为正数且单调递减。莱布尼茨判别法的条件是：a_n → 0 且 a_(n+1) ≤ a_n。满足这两个条件时，交错级数收敛。但莱布尼茨判别法只能判断收敛性，不能直接用于求和。

例如，计算交错级数 ∑(-1)(n+1) n/(n+1) 的前 10 项和。首先验证莱布尼茨条件：a_n = n/(n+1) 单调递减且 lim_n→∞ a_n = 1 → 0。虽然极限为 1 不满足 a_n → 0 的要求，但我们可以通过改进形式 ∑(-1)(n+1) n/(n+1)2 来满足条件。改进后的级数满足莱布尼茨判别法，其部分和可以通过逐项相加得到。在实际计算中，需要根据具体问题灵活调整，不能简单地套用公式。