张宇数学基础30讲核心知识点疑难解析

考研数学基础阶段的学习，往往容易陷入“知其然不知其所以然”的困境。张宇老师的《数学基础30讲》以独特的教学风格，系统梳理了高等数学、线性代数和概率论的核心内容，但很多考生在实践过程中仍会遇到各种疑惑。本栏目精选了30讲中的常见问题，结合张宇老师的解题思路和考研数学的考查特点，进行深入浅出的解答，帮助考生扫清知识盲点，夯实基础。内容涵盖极限计算技巧、矩阵运算规律、概率模型选择等多个维度，力求用最贴近考生的语言，解析最根本的数学问题。

问题精选与解析

问题1：如何快速掌握极限计算的“保号性”定理？

保号性定理是极限理论中的关键性质，很多考生容易将其与极限存在性混淆。张宇老师在《数学基础30讲》中通过实例强调：若函数在某点极限存在且大于零（或小于零），则在该点附近一定存在一个邻域，使得函数值始终大于零（或小于零）。这一性质在证明不等式和讨论函数连续性时尤为重要。

举个例子，比如证明“若lim(x→a) f(x) = A > 0，则存在δ>0，使得当00”，我们可以这样理解：极限A>0意味着函数值无限接近正数，根据ε-δ定义，总能找到一个足够小的δ，让f(x)始终在(A-ε, A+ε)区间内。当取ε=A/2时，f(x)就一定大于A/2>0。张宇老师常通过“画图辅助理解”，比如在坐标系中画出函数曲线，标出极限值和正数区间，能直观感受保号性的“挤压”效果。他还特别提醒，保号性要求极限存在，若函数在点a处震荡，则无法直接应用该定理。

问题2：线性代数中“向量组线性无关”的证明有哪些常用技巧？

向量组线性无关的证明是考研数学的高频考点，张宇老师在《数学基础30讲》中总结了三种核心方法。首先是“定义法”，即假设存在不全为零的系数，使线性组合为零向量，然后通过矩阵变形或行列式计算，导出矛盾。例如证明{(1,0,1), (0,1,1), (1,1,3)