武忠祥考研数学二重点难点突破指南

在考研数学的征程中，数二作为众多考生的难点，往往需要付出更多的心血。武忠祥老师的课程体系深入浅出，针对数二的特点进行了系统化的梳理。本文将结合武忠祥老师的讲解思路，解析几个数二中的常见问题，帮助考生更好地理解和掌握核心考点，为备考之路提供实用参考。

问题一：函数的连续性与间断点如何判断？

函数的连续性与间断点是考研数二中的基础考点，也是很多考生容易混淆的地方。根据武忠祥老师的讲解，判断一个函数在某点是否连续，关键在于检查该点的左右极限是否存在且相等，并且等于函数在该点的函数值。具体来说，假设我们要判断函数f(x)在x=a处是否连续，需要依次验证以下三个条件：

• 函数f(x)在x=a处有定义，即f(a)存在；
• 极限lim(x→a) f(x)存在；
• 极限值等于函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。

如果这三个条件都满足，那么函数在x=a处连续；否则，就是间断点。间断点的类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。可去间断点是指左右极限存在且相等，但函数值不等于极限值或函数值不存在的情况；跳跃间断点是指左右极限存在但不相等的情况；无穷间断点是指左右极限至少有一个趋于无穷大的情况。武忠祥老师强调，在判断间断点类型时，要结合函数图像和极限计算，才能准确把握。

问题二：定积分的计算有哪些常用技巧？

定积分的计算是考研数二的另一个重点，也是考生普遍感到头疼的部分。武忠祥老师在课程中总结了多种定积分计算的技巧，这些技巧不仅能够简化计算过程，还能提高解题效率。换元法是定积分计算中非常常用的方法。根据武忠祥老师的讲解，换元法主要分为两类：第一类换元法，即凑微分法，适用于被积函数中含有复合函数的情况；第二类换元法，适用于被积函数中含有根式或三角函数的情况。在应用换元法时，换元后积分上下限也要相应地改变。

分部积分法也是定积分计算中不可或缺的技巧。分部积分法的公式是∫u dv = uv ∫v du，其中u和dv是待定的部分。武忠祥老师指出，在选择u和dv时，可以遵循“反对幂指三”的原则，即先选u的部分，然后是dv的部分。定积分计算中还有一些特殊的技巧，比如周期函数的积分、对称区间上的积分等。这些技巧需要考生在平时的练习中不断积累和总结。

问题三：级数的收敛性如何判定？

级数的收敛性是考研数二中的另一个重要考点，也是很多考生容易混淆的地方。根据武忠祥老师的讲解，判定一个级数的收敛性，主要需要掌握几种常用的判别法。正项级数是非常重要的一个类型，对于正项级数，常用的判别法包括比较判别法、比值判别法和根值判别法等。比较判别法是通过与已知收敛或发散的级数进行比较来判断原级数的收敛性；比值判别法则是通过计算相邻两项的比值来判断级数的收敛性；根值判别法则通过计算项的n次方根来判断级数的收敛性。

对于交错级数，常用的判别法是莱布尼茨判别法。莱布尼茨判别法指出，如果一个交错级数的项的绝对值单调递减且趋于零，那么这个交错级数是收敛的。武忠祥老师强调，在应用莱布尼茨判别法时，需要验证两个条件：一是项的绝对值单调递减，二是项的绝对值趋于零。这两个条件必须同时满足，才能得出级数收敛的结论。对于一般级数，还需要掌握绝对收敛和条件收敛的概念。如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛，这种情况称为绝对收敛；如果一个级数收敛，但其绝对值级数发散，这种情况称为条件收敛。