考研反常积分常见考点深度解析

在考研数学的备考过程中，反常积分是其中一个重要的组成部分。反常积分不仅考察学生对积分基本概念的理解，还考验学生分析问题、解决问题的能力。反常积分在考研中往往以综合题的形式出现，需要学生结合函数的性质、极限的计算以及积分技巧等多方面知识。本文将针对考研反常积分中的常见问题进行详细解析，帮助考生更好地掌握这一知识点。

例题1：反常积分的收敛性判断

问题：

如何判断反常积分 ∫₁^∞ (1/xp) dx 的收敛性？

答案：

反常积分 ∫₁^∞ (1/xp) dx 的收敛性判断是考研中的常见问题。我们需要明确反常积分的定义：当上限或下限为无穷大，或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，这种积分称为反常积分。对于这个积分，我们可以通过比较判别法来判断其收敛性。

具体来说，当 p > 1 时，(1/xp) 在 [1, ∞) 上是单调递减的，且当 x 趋近于无穷大时，(1/xp) 趋近于 0。根据比较判别法，我们可以将其与 ∫₁^∞ (1/xq) dx 进行比较，其中 q 是一个小于 p 的正数。由于 ∫₁^∞ (1/xq) dx 在 q ≤ 1 时发散，而在 q > 1 时收敛，因此我们可以得出结论：当 p > 1 时，∫₁^∞ (1/xp) dx 收敛。

反之，当 p ≤ 1 时，(1/xp) 在 [1, ∞) 上不是单调递减的，且当 x 趋近于无穷大时，(1/xp) 不会趋近于 0。根据比较判别法，我们可以将其与 ∫₁^∞ (1/x) dx 进行比较，由于 ∫₁^∞ (1/x) dx 发散，因此我们可以得出结论：当 p ≤ 1 时，∫₁^∞ (1/xp) dx 发散。

例题2：反常积分的计算方法

问题：

如何计算反常积分 ∫₀¹ (ln x) / x2 dx？

答案：

计算反常积分 ∫₀¹ (ln x) / x2 dx 需要使用积分技巧和极限的计算。我们需要注意到被积函数 (ln x) / x2 在 x = 0 处有一个无穷间断点，因此这是一个反常积分。

为了计算这个积分，我们可以使用分部积分法。设 u = ln x，dv = (1/x2) dx，则 du = (1/x) dx，v = -1/x。根据分部积分公式 ∫ u dv = uv ∫ v du，我们可以得到：

∫₀¹ (ln x) / x2 dx = -ln x / x ?₀¹ + ∫₀¹ (1/x) dx

计算边界项 -ln x / x ?₀¹，当 x 趋近于 0 时，ln x / x 趋近于 0，因此边界项为 0。接下来，计算 ∫₀¹ (1/x) dx，这个积分在 x = 0 处发散，因此我们需要使用极限来计算：

∫₀¹ (1/x) dx = lim_ε→0 ∫_ε¹ (1/x) dx = lim_ε→0 [-ln x ?_ε¹] = lim_ε→0 (-ln 1 + ln ε) = lim_ε→0 ln ε

由于 ln ε 在 ε 趋近于 0 时趋近于负无穷大，因此 ∫₀¹ (1/x) dx 发散。综上所述，反常积分 ∫₀¹ (ln x) / x2 dx 发散。

例题3：反常积分的几何意义

问题：

反常积分 ∫₁^∞ (1/x2) dx 的几何意义是什么？

答案：

反常积分 ∫₁^∞ (1/x2) dx 的几何意义是计算函数 y = 1/x2 在区间 [1, ∞) 上与 x 轴所围成的图形的面积。由于这是一个反常积分，我们需要使用极限来计算这个面积。

具体来说，我们可以将这个积分分成两部分来计算：

∫₁^∞ (1/x2) dx = lim_b→∞ ∫₁^b (1/x2) dx

计算 ∫₁^b (1/x2) dx，我们可以使用不定积分的基本公式 ∫ (1/x2) dx = -1/x + C，因此：

∫₁^b (1/x2) dx = -1/x ?₁^b = -1/b (-1/1) = 1 1/b

将这个结果代入原积分，我们得到：

∫₁^∞ (1/x2) dx = lim_b→∞ (1 1/b) = 1 0 = 1

因此，反常积分 ∫₁^∞ (1/x2) dx 的几何意义是函数 y = 1/x2 在区间 [1, ∞) 上与 x 轴所围成的图形的面积为 1。