每日一道数学题考研：函数零点与导数综合应用深度解析

在考研数学的备考过程中，函数零点与导数的综合应用是考生们普遍感到棘手的部分。这类问题往往涉及多知识点交叉，需要考生具备扎实的理论基础和灵活的解题思维。本文精选了3道典型例题，从不同角度剖析函数零点与导数的关系，帮助考生理清解题思路，掌握核心方法。通过对这些例题的深入分析，考生不仅能巩固基础知识，还能提升综合应用能力，为考试打下坚实基础。

例题一：判断函数零点个数问题

已知函数f(x) = x3 3x + 2，试判断该函数在区间[-2, 2]上的零点个数。

【答案】函数f(x) = x3 3x + 2的导数为f'(x) = 3x2 3。令f'(x) = 0，解得x = ±1。因此，f(x)在x = -1处取得极大值f(-1) = 4，在x = 1处取得极小值f(1) = 0。又f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0，f(2) = 8 6 + 2 = 4。根据零点判定定理，f(x)在[-2, -1)上有一个零点，在(-1, 1)上有一个零点，在(1, 2]上无零点。因此，函数f(x)在[-2, 2]上有且仅有两个零点。

例题二：证明函数零点唯一性问题

设函数g(x) = x2lnx 2x + 1，证明g(x)在(0, +∞)上只有一个零点。

【答案】首先证明g(x)在(0, +∞)上连续。由于g(x) = x2lnx 2x + 1是初等函数，故在定义域(0, +∞)上连续。接着证明零点唯一性。对g(x)求导得g'(x) = 2xlnx + x 2 = x(2lnx 1)。令g'(x) = 0，解得x = e(1/2)。当0 < x < e(1/2)时，g'(x) < 0；当x > e(1/2)时，g'(x) > 0。因此，g(x)在(0, e(1/2))上单调递减，在(e(1/2), +∞)上单调递增。计算g(e(1/2)) = e 2e(1/2) + 1 < 0，g(1) = 0，g(2) = 4ln2 3 > 0。由零点判定定理，g(x)在(e(1/2), 1)上有一个零点，在(1, +∞)上有一个零点。进一步分析可知，g(x)在(0, e(1/2))上无零点，因此g(x)在(0, +∞)上只有一个零点。

例题三：涉及参数的函数零点讨论问题

讨论函数h(x) = x3 ax + 1在R上的零点个数与参数a的关系。

【答案】对h(x)求导得h'(x) = 3x2 a。当a ≤ 0时，h'(x) ≥ 0，函数h(x)在R上单调递增。又h(0) = 1，因此h(x)在R上无零点。当a > 0时，令h'(x) = 0，解得x = ±√(a/3)。函数h(x)在(-∞, -√(a/3))和(√(a/3), +∞)上单调递增，在(-√(a/3), √(a/3))上单调递减。计算h(-√(a/3)) = 2√(a3/27) + 1，h(√(a/3)) = -2√(a3/27) + 1。当a > 3时，h(-√(a/3)) > 0，h(√(a/3)) < 0，因此h(x)在(-√(a/3), √(a/3))上有一个零点；当a = 3时，h(-√(a/3)) = 1，h(√(a/3)) = 0，因此h(x)在x = √(a/3)处有一个零点；当0 < a < 3时，h(-√(a/3)) > 0，h(√(a/3)) > 0，因此h(x)在R上无零点。综上，当a ≤ 0时，h(x)无零点；当a = 3时，h(x)有一个零点；当a > 3时，h(x)有两个零点。