张宇考研数学24讲核心考点深度剖析与解题策略

考研数学是众多考生心中的“拦路虎”，而张宇老师的24讲系列更是备考路上的得力助手。本栏目将结合张宇老师的最新分析，针对考研数学中常见的难点和易错点进行深度解析，帮助考生夯实基础、提升解题能力。内容涵盖高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个模块，注重理论与实践的结合，力求让考生在理解知识点的同时，掌握高效的解题技巧。无论是基础薄弱还是追求高分，都能在这里找到适合自己的学习路径。

常见问题解答

问题1：定积分的计算中，如何灵活运用换元法和分部积分法？

定积分的计算是考研数学中的重点和难点，很多同学在解题时感到无从下手。其实，灵活运用换元法和分部积分法是解决这类问题的关键。换元法能够简化积分区间或被积函数的结构。例如，对于形如∫₀¹sin(x2)dx的积分，我们可以通过三角换元或幂函数换元来降低难度。具体来说，令x=sint，则dx=costdt，积分区间从0到1变为从0到π/2，原积分转化为∫₀^π/2sin(t2)costdt。此时，进一步利用分部积分法，设u=sint，dv=costdt，则du=costdt，v=sint，原积分变为sint2₀^π/2 ∫₀^π/2costdt。计算得到结果为1 0 = 1。通过这样的步骤，我们可以看到换元法和分部积分法的结合能够大大简化计算过程。当然，实际应用中需要根据具体题目灵活选择，比如被积函数的奇偶性、周期性等特征都会影响方法的选择。多加练习，总结规律，才能在考试中游刃有余。

问题2：多元函数的偏导数和全微分在实际应用中如何区分？

很多同学在学多元函数微分学时，容易混淆偏导数和全微分的概念。其实，这两者既有联系又有区别。偏导数考察的是函数在某个变量变化时的影响，而其他变量被视为常数。例如，对于函数f(x,y)，f_x(x,y)表示在y不变的情况下，x变化对函数值的影响。而全微分则考虑所有变量同时变化时函数值的改变量，公式为df=?f/?x dx + ?f/?y dy。通俗地说，偏导数是“单兵作战”，全微分是“协同作战”。在实际应用中，比如求函数在点(x?,y?)处的变化率，如果只关心x方向的变化，就计算偏导数；如果关心所有方向的变化，就计算全微分。举个例子，假设某城市人口密度函数为ρ(x,y)，想研究在点(1,2)处，人口密度随x增加的变化率，就求ρ_x(1,2)；如果想研究整体人口密度的变化，就需要计算全微分df。判断函数在某点是否可微也很重要，一般来说，如果函数在该点连续且偏导数存在，则函数在该点可微。但需要注意，偏导数存在并不一定能推出函数可微，这是很多同学容易忽略的地方。多通过具体例子来理解，结合图像和实际情境，才能更好地掌握这两个概念。

问题3：级数敛散性的判别方法有哪些，如何选择合适的方法？

级数敛散性的判别是考研数学中的常见考点，掌握多种判别方法是成功的关键。常见的判别方法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法等。具体选择哪种方法，需要根据级数的形式来判断。比如，对于正项级数，比值判别法通常比较适用，特别是当级数通项含有阶乘或指数时。例如，级数∑_n=1^∞(n2/aⁿ)，令a=2，则比值判别法的极限为lim(n→∞)(n2/2ⁿ)/(n/2^n-1)=lim(n→∞)(n/2)=0，小于1，所以级数收敛。而对于交错级数，莱布尼茨判别法是首选，只要满足绝对值单调递减且趋于0即可。比如级数(-1)ⁿ/(n+1)，显然满足条件，所以收敛。比较判别法则适用于通项可以与简单级数（如p级数或几何级数）进行比较的情况。例如，级数∑_n=1^∞(1/n2)，可以与p级数比较，因为p=2>1，所以收敛。选择方法时，可以遵循以下原则：先看通项是否含有指数、阶乘或绝对值符号，再考虑是否为交错级数，最后尝试比较法。当然，熟练掌握各种方法的适用场景是关键，平时多练习不同类型的级数，总结规律，才能在考试中快速找到解题思路。值得注意的是，有些级数可能需要多种方法结合使用，比如先用比值判别法判断大致敛散性，再用比较法精确验证。