数学一考研2020备考难点及重点解析

2020年的数学一考研，对于众多考生来说是一次充满挑战的旅程。在这一年里，许多考生在备考过程中遇到了各种各样的问题，尤其是在高数、线代和概率论等核心科目上。本文将针对几个常见问题进行深入解析，帮助考生更好地理解考点，掌握解题技巧，从而在考试中取得理想成绩。以下问题涵盖了高数中的极限计算、线代中的特征值与特征向量，以及概率论中的条件概率等内容，每个问题的解答都力求详尽且易于理解。

问题一：如何高效计算高数中的极限问题？

高数中的极限计算是许多考生的一大难点，尤其是在处理复杂的分式极限和未定式时。下面我们通过一个具体例子来说明如何高效计算这类问题。

【例题】计算极限 lim (x→0) (ex 1 x) / x2。

【解答】我们可以观察到这是一个“0/0”型未定式，因此可以考虑使用洛必达法则。洛必达法则告诉我们，当极限出现“0/0”或“∞/∞”型未定式时，可以对分子和分母分别求导，然后再计算极限。对于这个例子，我们对分子和分母分别求导，得到：

lim (x→0) (ex 1 x) / x2 = lim (x→0) (ex 1) / 2x。

注意到分子中的“ex 1”仍然是一个“0”型，我们再次使用洛必达法则：

lim (x→0) (ex 1) / 2x = lim (x→0) ex / 2 = 1/2。

因此，原极限的值为1/2。通过这个例子，我们可以看到洛必达法则在处理复杂极限问题时的有效性。当然，洛必达法则并不是万能的，有时还需要结合其他方法，如等价无穷小替换、泰勒展开等，才能更好地解决问题。

问题二：线代中的特征值与特征向量如何求解？

在线性代数中，特征值与特征向量的求解是考生需要重点掌握的内容。下面我们通过一个具体例子来说明如何求解矩阵的特征值与特征向量。

【例题】求矩阵 A = [[1, 2], [3, 4]] 的特征值与特征向量。

【解答】我们需要求解矩阵 A 的特征多项式。特征多项式定义为 det(A λI)，其中 λ 是一个未知数，I 是单位矩阵。对于这个例子，我们有：

A λI = [[1-λ, 2], [3, 4-λ]]。

det(A λI) = (1-λ)(4-λ) 6 = λ2 5λ 2。

接下来，我们需要解特征多项式等于零的方程，即 λ2 5λ 2 = 0。这个方程是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解它：

λ = (5 ± √(25 + 8)) / 2 = (5 ± √33) / 2。

因此，矩阵 A 的特征值为 λ? = (5 + √33) / 2，λ? = (5 √33) / 2。

接下来，我们需要求解对应的特征向量。对于特征值 λ?，我们需要解方程 (A λ?I)x = 0，其中 x 是一个未知的列向量。具体来说，我们有：

(A λ?I)x = [[1-λ?, 2], [3, 4-λ?]] [x?, x?]? = [0, 0]。

通过解这个方程，我们可以得到特征向量 x? = [1, (λ? 1)]?。类似地，对于特征值 λ?，我们可以得到特征向量 x? = [1, (λ? 1)]?。

通过这个例子，我们可以看到求解矩阵的特征值与特征向量的一般步骤：首先求解特征多项式，然后解特征多项式等于零的方程得到特征值，最后解对应的齐次线性方程组得到特征向量。

问题三：概率论中的条件概率如何计算？

概率论中的条件概率是考生需要重点掌握的内容之一。下面我们通过一个具体例子来说明如何计算条件概率。

【例题】假设一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取两个球，已知第一个球是红球，求第二个球是蓝球的概率。

【解答】我们需要明确条件概率的定义。条件概率 P(AB) 表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。根据条件概率的定义，我们有：

P(第二个球是蓝球 第一个球是红球) = P(第二个球是蓝球且第一个球是红球) / P(第一个球是红球)。

接下来，我们需要计算分子和分母的概率。对于分子，我们需要计算在第一个球是红球的条件下，第二个球是蓝球的概率。由于第一个球已经抽走，袋子里还剩下4个红球和3个蓝球，因此：

P(第二个球是蓝球且第一个球是红球) = 3 / 7。

对于分母，我们需要计算第一个球是红球的概率。由于袋子里有5个红球和3个蓝球，因此：

P(第一个球是红球) = 5 / 8。

将分子和分母代入条件概率的定义，我们得到：

P(第二个球是蓝球 第一个球是红球) = (3 / 7) / (5 / 8) = (3 / 7) (8 / 5) = 24 / 35。

因此，在第一个球是红球的条件下，第二个球是蓝球的概率为24/35。通过这个例子，我们可以看到条件概率的计算方法：首先明确条件概率的定义，然后计算分子和分母的概率，最后将分子和分母代入条件概率的定义进行计算。