2018考研数学二线性代数备考难点突破

2018年考研数学二的线性代数部分一直是考生们的难点，涉及矩阵运算、向量空间、线性方程组等多个核心概念。很多同学在复习过程中容易陷入“知其然不知其所以然”的困境，尤其是对于抽象的理论推导和复杂计算题感到无从下手。本文将针对几个典型问题进行深入解析，帮助考生理清思路，掌握解题技巧，避免在考场上因基础不牢而失分。

问题一：如何快速判断线性方程组解的情况？

线性方程组的解的情况通常分为无解、唯一解和无穷多解三种。判断的关键在于系数矩阵和增广矩阵的秩。例如，对于方程组Ax=b：
若r(A) ≠ r(增广矩阵)，则方程组无解；
若r(A) = r(增广矩阵) = n（n为未知数个数），则方程组有唯一解；
若r(A) = r(增广矩阵) < n，则方程组有无穷多解。

实际操作中，可以通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，观察主元个数和自由变量的数量即可。比如，若化简后系数矩阵有2个主元，增广矩阵有3个主元，则无解；若自由变量有1个，则有无穷多解。这种方法避免了直接求解的繁琐，尤其适合时间紧迫的考试场景。

问题二：向量组线性相关性的判定有哪些技巧？

向量组线性相关性的判定是线性代数的核心考点之一。常见方法包括：
1. 定义法：若存在不全为零的系数，使线性组合为零向量，则向量组线性相关。例如，对于向量组α?, α?, α?，若存在a?, a?, a?不全为零，满足a?α? + a?α? + a?α? = 0，则线性相关。
2. 秩法：将向量组转化为矩阵，计算其秩。若秩小于向量个数，则线性相关。比如，若矩阵的秩为2，但向量有3个，则必定线性相关。
3. 行列式法：对于三维向量组，可直接计算行列式。若行列式为零，则线性相关。

举例说明：向量组(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)线性相关，因为第二列为第一列的2倍，第三列为第一列的3倍，向量个数大于秩。考试中若能快速识别比例关系，可节省大量计算时间。

问题三：特征值与特征向量的求解如何避免错误？

特征值与特征向量的求解是考研中的高频考点。解题步骤如下：
1. 求解特征值：令det(A-λI)=0，解出λ。注意λ是代数方程的根，可能有重根。
2. 求解特征向量：将λ代入(A-λI)x=0，解出基础解系即为特征向量。

常见错误包括：
漏掉λ=0的情况，导致特征值不完整；
将特征向量写成齐次方程的任意解，而非基础解系。

例如，对于矩阵A=
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计算特征值时，det(A-λI)=0化为λ2-5λ-6=0，解得λ?=-1, λ?=6。代入求解特征向量时，需分别对λ?和λ?计算，得到对应的特征向量。考试中若能按部就班，避免粗心，则能轻松得分。