2013年考研数学二真题答案深度解析及常见疑问解答

2013年的考研数学二真题以其独特的命题风格和难度设置，成为了许多考生关注的焦点。这份试卷不仅考察了考生的基础知识掌握程度，还对其逻辑思维和应试能力提出了更高要求。许多考生在查看答案后，仍对部分题目的解法和解题思路感到困惑。为此，我们整理了几个常见问题，并结合详细解析，帮助考生更好地理解真题答案，提升备考效果。

常见问题解答

问题一：2013年数二真题第10题的积分方法为何选择“凑微分”而不是“换元积分”？

2013年数二真题第10题是一道涉及不定积分计算的题目，原题为“计算∫(x2 sinx)dx”。许多考生在解题时纠结于是否应该使用“换元积分法”，实际上，这道题更适合采用“凑微分法”。凑微分法的优势在于能够直接利用基本积分公式，简化计算过程。具体来说，通过观察被积函数，我们可以将其拆分为“x2 d(-cosx)”，从而凑出微分形式，进而利用积分公式得到结果。相比之下，换元积分法虽然也能解决问题，但需要额外的换元步骤，增加了计算复杂度。因此，在备考过程中，考生应注重掌握不同积分方法的适用场景，灵活选择最简便的解题路径。

问题二：第15题的微分中值定理应用为何需要构造辅助函数？其解题思路是什么？

2013年数二真题第15题是一道典型的微分中值定理应用题，题目要求证明“存在唯一的ξ∈(0,1)，使得ξ3 ξ = sin(πξ) π”。这类问题通常需要通过构造辅助函数来简化证明过程。具体来说，我们可以构造函数f(x) = x3 x sin(πx) + π，然后利用罗尔定理和导数性质来证明存在性及唯一性。验证f(x)在[0,1]上的连续性和可导性，接着计算f(0)和f(1)的值，发现它们异号，从而根据介值定理可知存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0。进一步，通过分析f'(x)的符号变化，可以证明ξ的唯一性。这种构造辅助函数的方法不仅简化了证明过程，还体现了数学思维的巧妙性，考生在备考时应多加练习此类技巧。

问题三：第20题的线性方程组求解为何需要用初等行变换？其矩阵形式如何转化？

2013年数二真题第20题是一道关于线性方程组的求解问题，题目要求求出方程组的通解。这类问题通常需要通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形或行最简形，从而简化求解过程。具体来说，我们可以将方程组写成增广矩阵形式，然后通过一系列初等行变换，将其化为行最简形。例如，原方程组可能表示为“Ax=b”，通过初等行变换，我们可以得到“A的简化形式”和“b的对应形式”，进而直接读出方程组的解。矩阵形式的转化关键在于熟练掌握初等行变换的操作规则，如交换两行、某行乘以非零常数、某行加减另一行的倍数等。这种转化方法不仅适用于此类问题，还广泛应用于线性代数的其他章节，考生在备考时应注重基础操作的练习和灵活运用。