武忠祥考研数学2025每日一题：极限计算中的常见陷阱与应对策略

在考研数学的备考过程中，极限计算是基础且关键的一环。很多同学在解决这类问题时容易陷入误区，比如忽略无穷小量的比较、错误使用洛必达法则，或是混淆左右极限的概念。武忠祥老师的《考研数学2025每日一题》针对这些问题提供了系统性的讲解，帮助考生精准把握解题要点。本文将结合几道典型例题，深入剖析极限计算中的常见问题，并提供切实可行的解决方法。

问题一：如何正确处理“0/0”型未定式极限？

“0/0”型未定式是极限计算中最常见的题型之一，但很多同学在应用洛必达法则时容易出错。例如，在计算 lim(x→0) (sin x x) / x2 时，若直接对分子分母求导，会得到 -1/2，这显然是错误的。正确做法是先对分子进行泰勒展开：sin x x ≈ -x3/6，从而极限值为 -1/6。这说明，在应用洛必达法则前，应优先考虑等价无穷小替换或泰勒展开，避免盲目求导。洛必达法则仅适用于连续可导函数，若不满足条件需另寻方法。

问题二：左右极限不等时如何判断极限不存在？

在处理分段函数或绝对值函数的极限时，左右极限不等是常见的“坑”。例如，计算 lim(x→0) x / x，若忽略绝对值的影响，可能会误判极限存在。实际上，左极限为 -1，右极限为 1，因此极限不存在。解决这类问题的关键是分开讨论：对于含绝对值或分段点的函数，必须分别计算左极限和右极限，若两者不相等或其中之一不存在，则原极限不存在。这种“分类讨论”的思维是考研数学中的核心能力。

问题三：无穷小量比较中的常见错误有哪些？

无穷小量的比较是极限计算的基础，但很多同学在判断高阶无穷小时容易混淆。例如，有人会错误地认为 ex 1 与 x 在 x→0 时同阶，实际上两者是等价无穷小。正确比较需借助泰勒展开：ex 1 ≈ x + x2/2，因此 x2/2 是比 x 更高阶的无穷小。在应用等价无穷小替换时，需注意前提条件——即变量趋于同一极限点且乘积中的因子不能为 0。比如，lim(x→0) x sin(1/x) = 0，不能直接用 sin(1/x) ≈ 1 替换，因为 1/x 在 x→0 时无界。