2014年考研数学二第5题深度解析与易错点汇总

2014年考研数学二第5题是一道考察定积分几何应用的典型题目，涉及旋转体体积的计算。该题不仅考查了考生对定积分基本概念的理解，还综合了函数图像、区间分割等知识点，是当年考生普遍反映难度较大的题目之一。本文将结合题目背景，从解题思路、常见误区及答题技巧等多个维度进行详细剖析，帮助考生更好地掌握此类问题的解决方法。

题目原题回顾

已知曲线L的方程为y=2x-x3，直线l与曲线L相交于点A(1,1)和点B(2,-2)，记曲线L、直线l及x轴所围成的两个封闭图形的面积分别为S1和S2，则S1+S2的值为多少？

解题步骤详解

第一步：确定直线l的方程

我们需要求出直线l的方程。由于直线l经过点A(1,1)和点B(2,-2)，可以通过两点式求得其方程。设直线l的斜率为k，则有：

k = (-2-1)/(2-1) = -3

因此，直线l的方程为y-1=-3(x-1)，化简后得到y=-3x+4。

第二步：计算封闭图形的面积

接下来，我们需要计算由曲线L、直线l及x轴所围成的两个封闭图形的面积S1和S2。找到曲线L与直线l的交点，即解方程组：

y=2x-x3

y=-3x+4

代入消元得到2x-x3=-3x+4，整理后得到x3-5x+4=0。解得x=1和x=2，即交点为A(1,1)和B(2,-2)。

因此，S1为曲线L在x=0到x=1之间与x轴围成的面积，S2为曲线L在x=1到x=2之间与直线l围成的面积。

第三步：计算定积分

S1可以通过计算定积分∫(2x-x3)dx（从0到1）得到：

S1 = ∫(2x-x3)dx = x2 (1/4)x4 _(0)(1) = 1 1/4 = 3/4

S2可以通过计算定积分∫[(2x-x3)-(-3x+4)]dx（从1到2）得到：

S2 = ∫[(2x-x3+3x-4)dx] = ∫(-x3+5x-4)dx = -(1/4)x4 + (5/2)x2 4x _(1)(2)

代入上限和下限计算得到S2 = [-(1/4)×16 + (5/2)×4 8] [-(1/4)×1 + (5/2)×1 4] = -4 + 10 8 + 1/4 5/2 + 4 = -3/4

第四步：求和

S1+S2 = 3/4 + (-3/4) = 0

常见误区分析

在解决这类问题时，考生容易出现以下几种错误：

答题技巧总结

针对这类问题，考生可以遵循以下解题技巧：

1. 仔细审题，明确图形的构成元素，包括曲线、直线和坐标轴。

2. 利用几何关系确定交点，并通过数形结合的方式划分积分区间。

3. 计算定积分时注意符号变化，避免因符号错误导致结果偏差。

4. 最后对各个部分的结果进行汇总，确保计算准确无误。

通过以上解析，我们可以看到2014年考研数学二第5题虽然难度较大，但只要掌握正确的解题思路和技巧，考生完全有能力顺利解答。这类题目不仅考察了考生的数学基础，还考验了其逻辑思维和问题解决能力，因此建议考生在备考过程中加强此类综合题型的训练。