数学考研数二2014年重点难点解析与突破

2014年的数学考研数二考试在众多考生中引发了广泛关注，其命题风格和难度成为了考生们热议的焦点。本文将针对当年考试中的重点难点问题进行深入解析，并结合具体案例给出详细解答，帮助考生更好地理解和掌握相关知识点，为备考提供有力支持。

常见问题解答与详细解答

问题一：关于函数极限的计算方法

在2014年的数学考研数二中，函数极限的计算是考生普遍反映较为困难的部分。许多考生在遇到复杂的极限问题时感到无从下手。实际上，解决这类问题的关键在于熟练掌握各种极限计算方法，如洛必达法则、等价无穷小替换以及变量代换等。下面通过一个具体例子来说明。

例如，计算极限 lim (x→0) (ex cosx) / x2。观察分子部分，ex 和 cosx 在 x=0 处的泰勒展开分别为 1 + x + x2/2 + o(x2) 和 1 x2/2 + o(x2)，因此分子可以近似为 x + x2/2。将这个近似代入原极限中，得到 (x + x2/2) / x2 = 1/x + 1/2。当 x→0 时，1/x 趋向无穷大，但这里需要进一步分析，实际上原极限可以通过洛必达法则来解决。对分子和分母同时求导，得到 lim (x→0) (ex + sinx) / 2x = 1/2，这就是最终的答案。

问题二：关于微分方程的求解技巧

微分方程是数学考研数二中的一个重要组成部分，也是考生们普遍感到棘手的问题之一。在2014年的考试中，微分方程的求解占据了相当大的比重。解决这类问题的关键在于熟练掌握各种微分方程的求解方法，如可分离变量方程、一阶线性微分方程以及二阶常系数齐次和非齐次微分方程等。下面通过一个具体例子来说明。

例如，求解微分方程 y' y = x。这是一个一阶线性微分方程，可以使用积分因子法来解决。找到积分因子 μ(x) = e(-∫1dx) = e(-x)。将原方程两边同时乘以积分因子，得到 e(-x)y' e(-x)y = xe(-x)。左边可以写成 (e(-x)y)'，因此方程变为 (e(-x)y)' = xe(-x)。两边同时积分，得到 e(-x)y = -xe(-x) e(-x) + C。解出 y = -x 1 + Cex，这就是原方程的通解。

问题三：关于多元函数的极值问题

多元函数的极值问题是数学考研数二中的一大难点，也是考生们容易出错的地方。在2014年的考试中，这类问题占据了相当大的比重。解决这类问题的关键在于熟练掌握多元函数的偏导数计算以及极值判别方法。下面通过一个具体例子来说明。

例如，求函数 f(x, y) = x3 + y3 3xy 在区域 D = {(x, y) x2 + y2 ≤ 1