山西大学数学分析考研真题高频考点深度解析

山西大学数学分析考研真题以其严谨性和综合性著称，涵盖了极限、连续性、微分、积分等核心知识点。许多考生在备考过程中会遇到一些典型问题，尤其是那些反复出现的考点。本文将结合历年真题，对其中3-5个高频问题进行详细解析，帮助考生理解解题思路，掌握关键技巧。内容涵盖但不限于级数收敛性判断、函数连续性证明、微分方程求解等，旨在为考生提供实用且深入的学习参考。

问题一：级数收敛性的判定方法有哪些？以真题为例说明

在山西大学数学分析的考试中，级数收敛性是常考知识点，往往以选择题或证明题的形式出现。常见的判定方法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法以及莱布尼茨判别法等。以2019年真题中的一道题为例：判断级数∑(n=1 to ∞) (n2 + 1) / (n4 + n)的收敛性。解决这类问题时，首先需要分析通项的渐近行为。观察发现，当n趋于无穷大时，分子和分母的最高次项分别为n2和n4，因此可以近似为n2/n4 = 1/n2。这提示我们考虑p-级数∑(n=1 to ∞) 1/np的收敛性。由于p=2>1，p-级数收敛，故原级数也收敛。更严谨的证明可以采用极限比较法，将原级数与∑(n=1 to ∞) 1/n2进行比较，计算极限lim (n→∞) [(n2+1)/(n4+n)] / (1/n2) = lim (n→∞) (n4+n)/(n4+n) = 1，因为极限为正有限数，所以两级数具有相同的收敛性。这种方法在真题中非常实用，考生需要熟练掌握不同判别法的适用场景。

问题二：如何证明函数在某点连续？以真题中的例子说明

函数连续性是数学分析的基石，山西大学真题中常考查函数在一点连续的证明。例如，2020年真题要求证明函数f(x) = { (x2sin(1/x) if x≠0; 0 if x=0)