2015年考研数学二真题重点难点解析与常见误区剖析

2015年考研数学二真题在考察范围和难度上都有一定的特点，其中涉及到的部分知识点是考生们普遍感到困惑的。本文将结合真题内容，深入分析几个常见问题，并给出详细的解答，帮助考生们更好地理解考点、突破难点。通过对真题的细致剖析，考生们可以更清晰地认识到自己的薄弱环节，从而有针对性地进行复习，提高应试能力。

常见问题解答

问题一：关于函数极限的计算问题

在2015年考研数学二真题中，有一道关于函数极限的题目，很多考生在解答时出现了错误。这道题考察的是考生对极限运算法则的掌握程度，特别是对于含有绝对值函数的极限计算。下面我们来看一下这道题的具体情况和解答思路。

题目：计算极限 lim (x→0) [x2 sin(1/x) / (x + sin(x))]

解答：我们需要注意到分子中的 x2 和分母中的 x + sin(x) 都在 x 趋近于 0 时趋近于 0，因此可以考虑使用洛必达法则。洛必达法则告诉我们，当极限形式为 0/0 或 ∞/∞ 时，可以对分子和分母分别求导后再计算极限。

对分子求导得到 2x sin(1/x) x2 cos(1/x) / x2，对分母求导得到 1 + cos(x)。于是原极限变为：

lim (x→0) [(2x sin(1/x) x2 cos(1/x) / x2) / (1 + cos(x))]

进一步简化可得：

lim (x→0) [2 sin(1/x) cos(1/x)] / (1 + cos(x))

由于 sin(1/x) 和 cos(1/x) 在 x 趋近于 0 时都没有极限，因此我们需要考虑其他方法。注意到 sin(1/x) 的值始终在 -1 和 1 之间，因此 2 sin(1/x) cos(1/x) 的值也在一定范围内波动。而分母 1 + cos(x) 在 x 趋近于 0 时趋近于 2，因此整个分式的值将趋近于 0。

综上所述，原极限的值为 0。

问题二：关于定积分的应用问题

2015年考研数学二真题中，定积分的应用问题也是考生们普遍感到困惑的。这道题考察的是考生对定积分在几何和物理中的应用的理解，特别是对于旋转体体积的计算。下面我们来看一下这道题的具体情况和解答思路。

题目：计算由曲线 y = x2 和 y = x 旋转一周所形成的旋转体的体积。

解答：我们需要确定旋转体的体积公式。对于由曲线 y = f(x) 和 y = g(x) 旋转一周所形成的旋转体，其体积 V 可以通过以下公式计算：

V = π ∫[a, b] (f(x)2 g(x)2) dx

在本题中，曲线 y = x2 和 y = x 的交点为 (0, 0) 和 (1, 1)，因此 a = 0，b = 1。将 f(x) = x2 和 g(x) = x 代入公式，得到：

V = π ∫[0, 1] (x4 x2) dx

接下来，我们需要计算这个定积分。对 x4 和 x2 分别求积分，得到：

∫[0, 1] x4 dx = [x5 / 5] [0, 1] = 1/5

∫[0, 1] x2 dx = [x3 / 3] [0, 1] = 1/3

因此，原积分变为：

V = π (1/5 1/3) = π (-2/15) = -2π/15

由于体积不能为负数，因此我们需要取绝对值，得到最终的体积为 2π/15。

问题三：关于微分方程的求解问题

在2015年考研数学二真题中，微分方程的求解问题也是考生们普遍感到困惑的。这道题考察的是考生对一阶线性微分方程的求解方法的掌握程度。下面我们来看一下这道题的具体情况和解答思路。

题目：求解微分方程 y' + 2xy = x

解答：我们需要将这个微分方程化为标准形式。一阶线性微分方程的标准形式为 y' + p(x)y = q(x)，其中 p(x) 和 q(x) 是已知函数。在本题中，p(x) = 2x，q(x) = x。

接下来，我们需要找到这个微分方程的积分因子。积分因子的公式为：

μ(x) = e∫p(x)dx

在本题中，p(x) = 2x，因此积分因子为：

μ(x) = e∫2xdx = ex2

将积分因子乘以原微分方程的两边，得到：

ex2 y' + 2xex2 y = xex2

注意到左边是一个乘积的导数，因此可以写成：

(ex2 y)' = xex2

接下来，对两边积分，得到：

ex2 y = ∫xex2 dx

右边的积分可以通过换元法求解。令 u = x2，则 du = 2xdx，因此：

∫xex2 dx = 1/2 ∫eu du = 1/2 eu + C = 1/2 ex2 + C

因此，原方程的解为：

ex2 y = 1/2 ex2 + C

两边同时除以 ex2，得到：

y = 1/2 + Ce-x2

这就是原微分方程的通解。