考研极限数学经典题目深度解析与攻克策略

在考研数学的征途上，极限作为核心考点之一，既是难点也是得分关键。许多考生在备考过程中常常被各种极限问题搞得焦头烂额，尤其是那些反复出现在历年真题中的经典题目。这些题目不仅考察基础概念，更考验解题的灵活性和技巧性。本文将结合百科网的风格，深入剖析3-5道考研极限数学中的经典题目，提供详尽的解题思路和易错点分析，帮助考生突破瓶颈，掌握高分秘诀。

经典题目一：极限的求法与证明

问题：求极限 lim (x→2) [(x2 4) / (x 2)]。

解答：这道题看似简单，但很多考生容易直接代入x=2导致分母为零的未定式。正确做法是先对分子进行因式分解：

(x2 4) / (x 2) = [(x + 2)(x 2)] / (x 2)

约去公因式后得到 x + 2，此时再代入x=2，极限值为4。这个题目考察的是对"消去零因子"技巧的掌握，如果盲目代入会导致错误。考生还需注意极限存在与函数值相等的区别，有些极限不存在但函数值可能存在的情况需要特别留意。

经典题目二：无穷小量的比较

问题：比较当x→0时，(1-cosx)与(xsinx)2哪个是高阶无穷小？

解答：这类问题需要用到泰勒展开式或等价无穷小替换。对于(1-cosx)，利用泰勒公式展开到二阶项得到：

1 cosx ≈ 1 (1 x2/2 + ...) = x2/2

而(xsinx)2 = x2(sin x)2 ≈ x2(x2) = x4

显然x4是x2的高阶无穷小，因此(xsinx)2是(1-cosx)的高阶无穷小。这个题目关键在于掌握常见函数的泰勒展开，如sinx、cosx、ln(1+x)等，并灵活运用等价无穷小替换技巧。

经典题目三：极限存在性证明

问题：证明极限 lim (x→0) [xsin(1/x)] 存在。

解答：这类证明题不能简单代入x=0，而需要用夹逼定理。注意到对于任意x≠0，有-1≤sin(1/x)≤1，因此：

-x ≤ xsin(1/x) ≤ x

当x→0时，-x和x的极限都是0，根据夹逼定理可得：

lim (x→0) [xsin(1/x)] = 0

这个题目考察的是夹逼定理的灵活应用，考生需要能够从复杂函数中分离出有界部分和趋于零的部分。证明极限存在时，不仅要说明极限值，更要给出严格证明过程，这是考研数学的常见评分标准。