武忠祥考研数学考点精讲核心难点深度解析

在考研数学的备考过程中，许多考生常常会遇到一些难以理解的知识点和技巧性问题。武忠祥老师的《考研数学考点精讲》作为业内知名的辅导教材，系统地梳理了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的核心考点，但部分考生仍对其中的难点存在疑惑。本文将结合教材内容，针对数量3-5个常见问题进行深入解析，帮助考生更好地掌握重难点，提升解题能力。

问题一：定积分的换元积分法如何灵活应用？

定积分的换元积分法是考研数学中的高频考点，也是许多考生的难点所在。换元积分法的关键在于选择合适的换元函数，使得积分区间和被积函数都得到简化。例如，当遇到被积函数含有根式或三角函数时，可以通过三角换元或根式换元来消除复杂结构。但换元后积分限必须相应调整，且新变量的微分要正确代入。换元前后积分变量的定义域要保持一致，否则会导致积分结果错误。以计算∫₀¹√(1-x2)dx为例，若采用三角换元x=cosθ，则积分限从0到1对应θ从π/2到0，此时原积分转化为∫_π/2⁰sin2θdθ，进一步利用倍角公式化简即可求解。这种方法的灵活运用需要考生对常见换元技巧有深刻理解，并结合具体题目进行分析。

问题二：多元函数的极值如何准确求解？

多元函数极值的求解是考研数学中的重点内容，考生常在偏导数计算和驻点判别上遇到困难。求解极值需要先找到驻点，即同时满足?f/?x=0和?f/?y=0的点。但要注意，驻点不一定是极值点，还需通过二阶偏导数构成的Hessian矩阵进行正负判定。具体来说，若Hessian矩阵在驻点处正定，则该点为极小值点；若负定，则为极大值点；若不定，则不是极值点。对于边界问题，需结合拉格朗日乘数法处理条件极值。例如，在求解函数f(x,y)=x2+y2在约束x+y=1下的极值时，构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=x2+y2+λ(x+y-1)，通过求解L的驻点来确定极值。这类问题需要考生熟练掌握偏导数计算和矩阵判别方法，并灵活运用不同求解技巧。

问题三：级数敛散性的判别方法有哪些？

级数敛散性的判别是考研数学中的难点，考生往往对各种判别法掌握不系统。正项级数可通过比值判别法、根值判别法或比较判别法进行判断。比值判别法适用于含有阶乘或幂指函数的级数，当lim(n→∞)a_n/a_n+1=ρ时，若ρ<1则收敛，ρ>1则发散。根值判别法则适用于项的绝对值非负且趋于正无穷的级数，当lim(n→∞)a_n(1/n)=ρ时，ρ<1收敛，ρ>1发散。比较判别法则需要考生熟悉p-级数和几何级数的敛散性，通过对比被积函数的渐近行为来判别。对于交错级数，则需应用莱布尼茨判别法，即验证项的绝对值单调递减且趋于零。绝对收敛与条件收敛的概念也需明确，即绝对收敛的级数必收敛，但反之不成立。以判别级数∑(-1)ⁿn/(n+1)2为例，其绝对值级数∑n/(n+1)2可转化为∑1/n2的p-级数（p=2>1），故原级数绝对收敛。这类问题需要考生对各类判别法有系统梳理，并结合具体题目灵活选用。