考研数学二：函数、极限与连续性核心考点深度解析

考研数学二中的函数、极限与连续性是整个数学基础的核心，也是后续高等数学学习的关键。这一部分不仅考查对基本概念的掌握，更注重逻辑推理与运算能力。很多考生在备考过程中容易混淆极限的求解方法，或者对连续性的判定条件理解不清。本文将结合历年真题中的常见问题，深入剖析函数定义域的求解技巧、极限存在性的证明方法，以及闭区间上连续函数性质的应用场景，帮助考生构建扎实的知识体系。

函数定义域的求解技巧有哪些？

函数定义域的求解是考研数学二的常考点，主要涉及分式函数、根式函数、对数函数及三角函数等。以题为例，函数f(x) = √(x-1) + ln(x2-3x+2)的定义域该如何确定？根式内部的代数式必须大于等于0，即x-1≥0，解得x≥1；对数函数的真数必须大于0，x2-3x+2>0，通过因式分解可得(x-1)(x-2)>0，解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。综合两个条件，取交集得到函数的定义域为[1,2)。当函数由多个部分组成时，必须同时满足所有部分的定义域条件。

极限存在性的证明方法有哪些？

极限存在性的证明在考研中经常以证明题的形式出现，常用方法包括夹逼定理、单调有界准则和ε-δ语言。以夹逼定理为例，证明lim(x→0) xsin(1/x)是否存在。由于-1≤sin(1/x)≤1，所以-x≤xsin(1/x)≤x。当x→0时，-x和x的极限都是0，根据夹逼定理可得原极限为0。另一种方法是利用ε-δ语言，证明lim(x→2) (x2-4)/(x-2)=4。对任意ε>0，要使(x2-4)/(x-2)-4<ε成立，只需x+2-4<ε，即x-2<ε。因此取δ=ε，当0

闭区间上连续函数性质的应用场景有哪些？

闭区间上连续函数的性质是考研中的重点，主要包括最值定理、介值定理和零点存在定理。以介值定理为例，已知函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=-1，f(1)=2，那么f(x)在(0,1)内是否必有零点？根据介值定理，由于-1<0<2，且f(x)连续，所以必存在某个c∈(0,1)，使得f(c)=0。这个性质在实际应用中非常有用，比如在证明方程根的存在性时，只需验证函数在区间两端点异号即可。最值定理则告诉我们连续函数在闭区间上必有最大值和最小值，这对于求解最值问题至关重要。零点存在定理常用于证明方程根的存在性，但需要注意定理的条件——函数在闭区间上连续且两端点函数值异号。这些性质在后续的微分学和积分学中也有广泛应用，是理解微积分思想的基础。