2017年考研数学二微分部分热点问题深度解析

2017年考研数学二的微分部分是考生普遍关注的重点和难点，涉及函数性质、微分中值定理、方程求解等多个考点。本文针对当年真题中的常见问题，结合典型例题进行详细解析，帮助考生理解核心概念，掌握解题技巧。内容涵盖零点判定、极值证明、渐近线分析等关键环节，力求以通俗易懂的方式解答疑惑，为备考提供清晰思路。

问题一：如何利用微分中值定理证明函数零点存在性？

微分中值定理是证明零点存在性的有力工具，通常结合闭区间上连续函数的性质来综合应用。以2017年真题中的一道例题为例，设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且满足f(a)=f(b)，要证明在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。解题时，首先根据罗尔定理确定存在一点满足f'(c)=0，然后通过构造辅助函数g(x)=f(x)-f(a)-[(x-a)/(b-a)](f(b)-f(a))，验证g(x)在[a,b]上满足零点定理条件，从而得出结论。这种方法的关键在于灵活选择构造函数，并注意利用导数定义式简化计算。

问题二：极值点的判定有哪些常见误区？

极值点的判定是微分应用的难点，考生常在第二导数检验时忽略必要条件。以2017年真题中的函数g(x)=x3-3x2+2为例，求其极值时，若仅计算g''(x)=-6x，直接令其等于0得到驻点x=0，却忽略了第一导数符号变化的重要性。正确做法应先求g'(x)=3x2-6x，解得驻点x=0和x=2，再通过列表分析第一导数符号变化：在x=0附近由正变负，故为极大值点；在x=2附近由负变正，故为极小值点。若误用第二导数检验，可能因忽略g''(0)=0而错误判断。这类问题提示考生需严格遵循极值必要条件和充分条件，避免盲目套用公式。

问题三：求解函数渐近线时如何处理复杂分式？

函数渐近线的求解是考研中的常见题型，处理复杂分式时需分清x趋于无穷和x趋于特定值两种情况。以2017年真题中的函数h(x)=1/(x2-x)为例，求解时需分别考虑：当x→∞时，通过分子分母同除最高次项x2，可得水平渐近线y=0；当x→0或x→1时，需计算左右极限判断是否存在竖直渐近线。特别地，若分母出现重根，如y=1/(x-1)2，则需通过泰勒展开或洛必达法则精确分析斜渐近线斜率k=(lim x→1 [(x-1)/y])。解题时建议按"竖直→斜直→水平"顺序分类讨论，避免遗漏关键步骤，尤其注意分母不可约时需单独处理。