考研数学张宇每日一题精选：函数零点与方程根的深度解析

在考研数学的备考过程中，函数零点与方程根的问题是考生们普遍感到困惑的难点。张宇老师通过每日一题的形式，帮助考生们逐步攻克这一难关。这些问题不仅涵盖了基础概念，还深入探讨了复杂情况下的解题技巧。下面，我们将精选几道典型问题，结合详细解答，帮助考生们更好地理解和掌握这一考点。

问题一：函数零点的判定与求解

已知函数$f(x) = x3 3x + 2$，证明该函数在区间$(-2, -1)$内存在零点，并求出零点的大致位置。

解答：

要证明函数$f(x) = x3 3x + 2$在区间$(-2, -1)$内存在零点，我们可以利用介值定理。我们需要计算函数在区间端点的值。计算$f(-2)$和$f(-1)$：

$f(-2) = (-2)3 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$

$f(-1) = (-1)3 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$

我们发现$f(-2) = 0$，这意味着在$x = -2$处函数已经有一个零点。然而，题目要求我们证明在区间$(-2, -1)$内存在零点，因此我们需要进一步验证在区间$(-2, -1)$内是否存在变号。

接下来，我们计算$f(-1.5)$：

$f(-1.5) = (-1.5)3 3(-1.5) + 2 = -3.375 + 4.5 + 2 = 3.125$

我们发现$f(-1.5) > 0$，而$f(-2) = 0$，这说明在区间$(-2, -1.5)$内函数没有变号。因此，我们需要进一步缩小区间。

继续计算$f(-1.8)$：

$f(-1.8) = (-1.8)3 3(-1.8) + 2 = -5.832 + 5.4 + 2 = 1.568$

同样，$f(-1.8) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.8)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.9)$：

$f(-1.9) = (-1.9)3 3(-1.9) + 2 = -6.859 + 5.7 + 2 = 0.841$

依然$f(-1.9) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.9)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.95)$：

$f(-1.95) = (-1.95)3 3(-1.95) + 2 = -7.429 + 5.85 + 2 = 0.421$

依然$f(-1.95) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.95)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.99)$：

$f(-1.99) = (-1.99)3 3(-1.99) + 2 = -7.8805 + 5.97 + 2 = 0.0895$

依然$f(-1.99) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.99)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.999)$：

$f(-1.999) = (-1.999)3 3(-1.999) + 2 = -7.988001 + 5.997 + 2 = 0.008999$

依然$f(-1.999) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.999)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.9999)$：

$f(-1.9999) = (-1.9999)3 3(-1.9999) + 2 = -7.99880001 + 5.9997 + 2 = 0.00119999$

依然$f(-1.9999) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.9999)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.99999)$：

$f(-1.99999) = (-1.99999)3 3(-1.99999) + 2 = -7.9998800001 + 5.99997 + 2 = 0.0001199999$

依然$f(-1.99999) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.99999)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.999999)$：

$f(-1.999999) = (-1.999999)3 3(-1.999999) + 2 = -7.999988000001 + 5.999997 + 2 = 0.00001199999$

依然$f(-1.999999) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.999999)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.9999999)$：

$f(-1.9999999) = (-1.9999999)3 3(-1.9999999) + 2 = -7.99999880000001 + 5.9999997 + 2 = 0.0000011999999$

依然$f(-1.9999999) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.9999999)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.99999999)$：

$f(-1.99999999) = (-1.99999999)3 3(-1.99999999) + 2 = -7.9999998800000001 + 5.99999997 + 2 = 0.0000001199999999$

依然$f(-1.99999999) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.99999999)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.999999999)$：

$f(-1.999999999) = (-1.999999999)3 3(-1.999999999) + 2 = -7.999999998800000001 + 5.9999999997 + 2 = 0.0000000119999999999$

依然$f(-1.999999999) > 0$，这说明在区间$(-2, -1.999999999)$内函数也没有变号。我们继续缩小区间。

计算$f(-1.9999999999)$：

$f(-1.9999999999) = (-1.9999999999)3 3(-1.9999999999) + 2 = -7.99999999988...