24考研数学证明题凹凸问题深度解析与实战技巧

在24考研数学的复习过程中，凹凸性证明题是考生普遍感到棘手的一类问题。这类题目不仅考察对基本概念的掌握，更考验逻辑推理和计算能力。凹凸性是函数性态分析的核心内容之一，也是考研中的高频考点。本文将结合历年真题，深入剖析凹凸性证明题的常见问题，并提供切实可行的解题方法，帮助考生突破这一难点。

凹凸性证明题的常见问题与解答

问题1：如何判断函数的凹凸性？

凹凸性的判断主要依靠二阶导数。具体来说，若函数f(x)在区间I内满足f''(x) > 0，则f(x)在I内凹；若f''(x) < 0，则f(x)在I内凸。在证明题中，考生常遇到的情况是混合区间凹凸性或边界点凹凸性的判断。例如，证明f(x) = x3 3x在(-∞, 1)内凹，在(1, +∞)内凸，就需要计算二阶导数f''(x) = 6x，并分析其符号变化。值得注意的是，证明过程中要明确区间范围，避免因忽略边界点而造成错误。

问题2：如何证明函数在某区间上的凹凸性？

证明函数凹凸性的典型方法是利用定义或二阶导数。以定义法为例，假设要证明f(x)在[a, b]上凹，需要验证对于任意x?, x? ∈ [a, b]，都有f(λx? + (1-λ)x?) ≤ λf(x?) + (1-λ)f(x?)（λ ∈ [0, 1]）。具体操作时，可构造辅助函数g(λ) = f(λx? + (1-λ)x?) [λf(x?) + (1-λ)f(x?)]，然后证明g(λ) ≤ 0。例如，证明ln(x)在(0, +∞)上凹，可以令g(λ) = ln(λx? + (1-λ)x?) [λln(x?) + (1-λ)ln(x?)]，经过对g(λ)求导并分析其符号，最终得出结论。二阶导数法相对简单，但需要考生熟练掌握导数计算和符号分析。

问题3：如何解决凹凸性证明题中的极值与最值问题？

凹凸性证明题常与极值、最值问题结合。例如，证明f(x)在[a, b]上存在唯一最小值，除了需要证明f(x)在a, b处取极值外，还需证明f(x)在(a, b)内凹凸性不变。具体步骤包括：首先求导找出驻点，然后利用二阶导数判断极值类型；接着分析边界点，证明最值唯一性；最后结合凹凸性结论，得出整体性态。以f(x) = x3 3x2 + 2为例，其导数f'(x) = 3x2 6x，驻点为x=0和x=2。二阶导数f''(x) = 6x 6，在x=0处为负，x=2处为正，因此x=0为极大值点，x=2为极小值点。结合凹凸性分析，可以证明在(-∞, 0)上凸，(0, 2)上凹，(2, +∞)上凸，从而确定极小值唯一。

问题4：如何处理含参数的凹凸性证明题？

含参数的凹凸性证明题更具挑战性，需要分类讨论。例如，证明f(x) = x3 + px2 + qx在x=1处凹凸性随p变化。首先计算二阶导数f''(x) = 6x + 2p，在x=1处为6 + 2p。当p > -3时，f''(1) > 0，函数凹；当p < -3时，f''(1) < 0，函数凸；当p = -3时，二阶导数为0，需进一步分析高阶导数或利用定义法。这类问题关键在于明确分类标准，避免遗漏情况。再如，证明f(x) = ax2 + bx + c在x=0处凹凸性随a变化，需要分析a的正负，并分别讨论b和c的影响，最终得出结论。