考研数学基础篇习题册重点难点解析

考研数学基础篇习题册是备考过程中的重要参考资料，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的核心知识点。许多考生在练习过程中会遇到各种问题，如概念理解不透彻、解题思路模糊或计算易错等。本栏目将针对习题册中的常见问题进行详细解析，帮助考生巩固基础、理清思路，提升解题能力。以下精选了3-5个典型问题及其解答，希望能为你的备考提供帮助。

问题一：极限计算中的“未定式”如何处理？

在考研数学基础篇习题册中，极限计算是高频考点，尤其是“未定式”问题，如“0/0”型、“∞/∞”型等。解决这类问题通常需要运用洛必达法则、等价无穷小替换或分子分母有理化等方法。例如，计算极限lim(x→0) (x2sinx)/(x-sinx)时，直接代入会得到“0/0”型未定式。此时，可先对分子分母进行变形：
1. 等价无穷小替换：sinx ≈ x (x→0)，则原式≈lim(x→0) (x3)/(x-sinx)，进一步化简为lim(x→0) (x3)/(x-(-x)) = lim(x→0) (x3)/(2x) = lim(x→0) (x2/2) = 0。
2. 洛必达法则：对分子分母分别求导，得到lim(x→0) (2xsinx + x2cosx)/(1 cosx)。再次应用洛必达法则，化简后仍可得0。
洛必达法则仅适用于“未定式”且导数存在的情况，若多次求导后仍为未定式，需考虑其他方法。等价无穷小替换能简化计算，但需牢记常用公式，如sinx ~ x, tanx ~ x (x→0)。

问题二：定积分的“换元法”如何灵活运用？

定积分的换元法是考研数学中的重点，常用于简化积分表达式或解决对称区间上的积分问题。例如，计算∫(0 to π) xcosxdx时，可设u = x，dv = cosxdx，则du = dx，v = sinx。根据分部积分公式∫u dv = uv ∫v du，原式=πsinπ ∫(0 to π) sinxdx = 0 (-cosx)_(0 to π) = 0 (-1 1) = 2。
另一种方法是三角换元，如∫(0 to 1) √(1-x2)dx，可设x = sinθ (dx = cosθdθ)，积分区间变为θ∈[0, π/2]，原式=∫(0 to π/2) cos2θdθ。利用二倍角公式cos2θ = (1+cos2θ)/2，积分进一步转化为(π/4) + (√2/4)arctan(√2)。换元时需注意：1. 变换后积分上下限需同步调整；2. 新变量的取值范围必须与原积分区间对应；3. 若涉及三角换元，需结合三角函数的对称性简化计算。

问题三：级数收敛性的判别方法有哪些？

级数收敛性是考研数学中的难点，常见题型包括正项级数、交错级数和一般级数。以正项级数为例，常用的判别方法有：
1. 比值判别法：设a? > 0，若lim(n→∞) (a?+?/a?) = ρ，则ρ<1时收敛，ρ>1或ρ=1时发散。例如，∑(n=1 to ∞) (2n+1)/(n2+1)的比值极限为2/n，趋近于0，故收敛。
2. 根值判别法：若lim(n→∞) √(a?) = ρ，则ρ<1时收敛，ρ>1或ρ=1时发散。该方法适用于幂级数或带有指数项的级数。
3. 比较判别法：将a?与已知收敛或发散的级数b?进行比较。若0 ≤ a? ≤ b?且b?收敛，则a?收敛；反之，若a? ≥ b?且b?发散，则a?发散。例如，级数∑(n=1 to ∞) (1/(n+1)ln(n+1))可通过与∑(1/nlnn)比较，后者发散，故原级数也发散。
值得注意的是，判别方法的选择需结合级数特点：比值法适用于分母阶数较高的情况，根值法适用于指数型项，而比较法需寻找合适的参照级数。若多种方法均不适用，可尝试直接求和或利用级数性质。