考研高数每日一题：不定积分常见问题深度解析

在考研高数的学习过程中，不定积分是考生普遍感到困惑的章节之一。它不仅需要扎实的计算能力，还需要灵活的解题技巧。为了帮助同学们更好地掌握不定积分的解题方法，我们精心整理了每日一题中的常见问题，并提供了详细的解答思路。这些问题涵盖了凑微分、换元积分、分部积分等多个核心考点，通过实例讲解，帮助大家理解不同方法的适用场景和关键步骤。下面，我们将针对几个典型问题进行深入剖析。

问题一：如何处理被积函数中含有根式的积分？

在考研高数中，被积函数含有根式的情况非常常见，例如√(ax+b)或1/√(ax+b)等。这类积分的关键在于通过适当的换元将根式去掉，转化为更简单的形式。通常采用的方法是三角换元或直接令根式为新的变量。以∫(x√(x+1))dx为例，我们可以令t=√(x+1)，则x=t2-1，dx=2t dt。原积分变为∫(t2-1)·t·2t dt = 2∫(t?t2) dt。接下来，分别对t?和t2进行积分，得到2(1/5t? 1/3t3) + C，最后将t=√(x+1)代回，得到最终答案。这种方法的核心在于换元后能够简化积分表达式，需要考生熟练掌握常见换元的技巧。

问题二：分部积分法如何选择u和dv？

分部积分法是处理被积函数为乘积形式的积分的重要方法，其公式为∫u dv = uv ∫v du。选择u和dv时，有一个常用的" LIATE "原则（对数函数、反三角函数、代数函数、三角函数、指数函数），即优先选择L、I类型作为u。例如，对于∫x sin x dx，我们选择u=x（代数函数），dv=sin x dx（三角函数），则du=dx，v=-cos x。代入公式得到-x cos x + ∫cos x dx = -x cos x + sin x + C。如果选择错误，比如令u=sin x，dv=x dx，计算会变得异常复杂。因此，考生需要通过大量练习，培养对u、dv选择的直觉，并记住常见函数的优先级。

问题三：如何计算有理函数的积分？

有理函数的积分通常采用部分分式分解的方法。首先将假分式通过多项式除法转化为真分式，然后对真分式进行分解。例如，∫(3x+2)/(x2+x+1) dx，由于分母无法分解为线性因子，我们需要通过配方将其转化为标准形式。将x2+x+1写成(x+1/2)2+3/4，然后令x+1/2=t，dx=dt。原积分变为∫(3(t-1/2)+2)/(t2+3/4) dt = ∫(3t+1/2)/(t2+3/4) dt。此时可以拆分为∫3t/(t2+3/4) dt + ∫1/2·(4/(4t2+3)) dt。第一部分通过凑微分得到√(3/4) lnt2+3/4，第二部分通过三角换元得到(1/2)·(2/√3) arctan(2t/√3)。最后将t=x+1/2代回，得到完整答案。这类问题需要考生熟练掌握部分分式分解和三角换元的技巧。