考研数学二：极限与连续问题深度解析及典型例题精讲

考研数学二中的极限与连续部分是基础但极其重要的考点，贯穿整个高等数学的学习。这部分内容不仅考察对基本概念的理解，还涉及复杂的计算技巧和逻辑推理能力。常见的题型包括极限的计算、函数连续性的判断、间断点的分类以及闭区间上性质的应用。掌握这些知识点，不仅能够帮助考生在选择题和填空题中得分，还能为解决大题中的相关问题打下坚实基础。下面将通过几个典型问题，结合解题思路和步骤，帮助考生深入理解并攻克这一难点。

典型问题解析

问题一：计算极限 lim (x→2) [(x2 4) / (x 2)]

这个问题主要考察的是极限的基本计算方法，特别是当直接代入导致不确定形式时的处理技巧。我们观察分子和分母，发现当x→2时，分子和分母都趋近于0，形成了0/0的不确定形式。这时，我们可以采用因式分解的方法来简化表达式。

具体来说，分子x2 4可以分解为(x 2)(x + 2)，于是原极限变为：

lim (x→2) [(x 2)(x + 2) / (x 2)]

可以看到，(x 2)在分子和分母中都可以约去，但要注意x不能等于2，因为分母不能为0。约去后，极限变为：

lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4

因此，原极限的值为4。这个例子展示了在遇到0/0不确定形式时，通过因式分解简化问题的方法，是解决这类极限问题的常用技巧。

问题二：判断函数f(x) = x在x=0处是否连续

函数的连续性是考研数学中的另一个重点，这个问题考察的是对连续性定义的理解和应用。根据连续性的定义，一个函数在某点x?处连续需要满足三个条件：函数在该点有定义、极限存在、极限值等于函数值。我们逐一检查函数f(x) = x在x=0处的情况。

f(0) = 0 = 0，函数在x=0处有定义。计算极限lim (x→0) x。由于绝对值函数在x=0处是对称的，我们可以分别考虑左极限和右极限：

lim (x→0?) x = lim (x→0?) x = 0

lim (x→0?) x = lim (x→0?) (-x) = 0

左右极限相等，所以极限lim (x→0) x = 0存在。比较极限值和函数值：0 = 0，满足极限值等于函数值。

综上所述，函数f(x) = x在x=0处满足连续性的三个条件，因此该函数在x=0处是连续的。这个问题展示了如何通过逐一验证连续性定义的三个条件来判断函数的连续性，是解决这类问题的标准方法。

问题三：求函数g(x) = (x2 1) / (x 1)在闭区间[0,2]上的最大值和最小值

这个问题涉及到闭区间上函数性质的应用，特别是最大值和最小值的求解。根据闭区间上连续函数的性质，最大值和最小值一定出现在驻点或端点处。因此，我们需要先找到函数的驻点，然后比较驻点和端点处的函数值。

我们简化函数g(x) = (x2 1) / (x 1)。分子x2 1可以分解为(x 1)(x + 1)，于是：

g(x) = (x 1)(x + 1) / (x 1) = x + 1，但要注意x不能等于1，因为原函数在x=1处无定义。

接下来，求导数g'(x) = d/dx (x + 1) = 1。令导数等于0，得到g'(x) = 0 → 1 = 0，显然没有解，说明函数在定义域内没有驻点。

因此，最大值和最小值只可能在端点处取得。计算端点处的函数值：

g(0) = 0 + 1 = 1

g(2) = 2 + 1 = 3

比较这两个值，最大值为3，最小值为1。因此，函数g(x) = (x2 1) / (x 1)在闭区间[0,2]上的最大值是3，最小值是1。这个问题展示了如何通过分析驻点和端点来求解闭区间上函数的最大值和最小值，是解决这类问题的常用方法。