考研数学排列组合中的典型问题深度解析
在考研数学的备考过程中，排列组合作为概率论与数理统计的基础模块，常常成为考生们的难点。这类问题不仅考察逻辑思维，还涉及分类讨论、计数原理等核心技巧。本文精选了3-5个典型的排列组合问题，通过详尽的解析和步骤拆解，帮助考生理解解题思路，掌握关键方法。无论是基础概念还是复杂应用，都能从中找到系统的梳理和实用的技巧，助力考生在考试中游刃有余。
问题一：从6名男生和4名女生中选出3名代表，要求至少包含1名女生，有多少种选法？
这个问题的核心在于分类讨论，因为题目要求至少包含1名女生，所以我们可以按照女生的数量进行划分。具体来说，可以分为以下三种情况：
- 1名女生和2名男生：首先从4名女生中选出1名，有C(4,1)种选择；然后从6名男生中选出2名，有C(6,2)种选择。根据乘法原理，这种情况下的总选法数为C(4,1)×C(6,2)。
- 2名女生和1名男生：首先从4名女生中选出2名，有C(4,2)种选择；然后从6名男生中选出1名，有C(6,1)种选择。同样地，这种情况下的总选法数为C(4,2)×C(6,1)。
- 3名女生：直接从4名女生中选出3名，有C(4,3)种选择。
将这三种情况相加，即可得到满足条件的总选法数。具体计算如下：
C(4,1)×C(6,2) = 4×15 = 60
C(4,2)×C(6,1) = 6×6 = 36
C(4,3) = 4
因此，总选法数为60 + 36 + 4 = 100种。
问题二：将4个不同的球放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个球，有多少种放法？
这个问题属于典型的“至少一个”的分配问题，可以通过“隔板法”或“插板法”来解决。这里我们采用插板法，具体步骤如下：
- 首先考虑将4个球排成一排，共有4!种排列方式。
- 然后在球与球之间插入隔板，将球分成3组，每组对应一个盒子。由于每个盒子至少有一个球，所以需要在4个球之间插入2个隔板。
- 插入隔板的位置有C(4,2)种选择，即从4个空隙中选择2个插入隔板。
因此，总放法数为C(4,2)×4! = 6×24 = 144种。
问题三：有5门不同的课程，要安排在3天的课程表中，每天至少安排一门课程，有多少种安排方法？
这个问题与上题类似，也是“至少一个”的分配问题，但这里分配的对象是课程，而不是球。我们可以采用“容斥原理”来解决这个问题。
- 首先考虑将5门课程排成一排，共有5!种排列方式。
- 然后在课程与课程之间插入隔板，将课程分成3组，每组对应一天的课程安排。由于每天至少有一门课程，所以需要在5门课程之间插入2个隔板。
- 插入隔板的位置有C(5,2)种选择，即从5个空隙中选择2个插入隔板。
因此，总安排方法数为C(5,2)×5! = 10×120 = 1200种。