2015年考研数学二微分方程核心考点深度解析

2015年考研数学二中的微分方程部分，是考生普遍关注的重点和难点。这部分内容不仅考察基础概念的理解，还涉及复杂应用的综合能力。许多考生在解题时容易陷入误区，比如对齐次方程、伯努利方程等特殊类型的识别不够准确，或者在求解过程中忽略初始条件的应用。本文将结合当年真题中的典型问题，系统梳理常见考点，并提供详尽的解题思路，帮助考生突破学习瓶颈。

问题二：伯努利方程的求解步骤

伯努利方程的一般形式为 dy/dx + p(x)y = q(x)yn，其中 n ≠ 0, 1。解决这类问题的关键是进行变量代换 z = y(1-n)，将其转化为线性微分方程。例如，对于方程 dy/dx + y = x2y3，令 z = y(-2)，则 dz/dx = -2y(-3)dy/dx，代入原方程可得 -1/2 dz/dx + y = x2，进一步整理为 dz/dx 2y = -2x2。通过求解线性方程，得到 z = e(2x)(x2/2 + C)，最后代回原变量 y = 1/z(1/2) 即得通解。在求解过程中要始终关注初始条件的应用，避免通解形式过于复杂。

问题三：全微分方程的简化技巧

全微分方程是指形如 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的方程，其中 M 和 N 满足 ?M/?y = ?N/?x。这类方程可以通过寻找势函数 φ(x,y) 使其满足 dφ = Mdx + Ndy 来求解。例如，求解方程 (x2 + y2)dx + 2xy dy = 0 时，首先验证 ?(x2+y2)/?y = 2y = ?(2xy)/?x，满足条件。然后尝试构造势函数，通过积分 ∫(x2+y2)dx = x3/3 + xy2 + C(y)，再对 y 求偏导验证，最终确定 φ(x,y) = x3/3 + xy2，通解为 x3 + 3xy2 = C。这类方程的难点在于势函数的寻找，需要考生具备较强的观察力和计算能力。