考研数学二基础练习题精选解析与常见误区点拨

在考研数学二的备考过程中，基础练习题是检验学习效果、巩固知识体系的重要环节。很多考生在练习时容易遇到一些共性问题，比如概念理解不透彻、解题思路混乱或计算易错等。本文精选了3-5道基础练习题，结合百科网风格，不仅提供详细答案，更深入剖析解题过程中的常见误区，帮助考生扫清障碍，稳步提升。通过这些实例，考生可以更直观地认识到自身薄弱环节，从而有针对性地调整学习策略。

问题一：函数连续性与可导性的关系证明题

题目：设函数f(x)在点x?处连续，且在x?的某去心邻域内可导，证明：f(x)在x?处可导。

解答：我们要明确函数在某点处连续和可导的定义。函数f(x)在点x?处连续，意味着lim(x→x?) f(x) = f(x?)。而函数在x?处可导，则要求极限lim(x→x?) [f(x) f(x?)]/x x?存在。

由于f(x)在x?的某去心邻域内可导，对于该邻域内的任意一点x，极限[f(x) f(x?)]/(x x?)都存在。根据极限的保号性，当x接近x?时，这个差商的极限应该接近某个确定的值。

接下来，我们考虑当x→x?时，[f(x) f(x?)]/(x x?)的极限。由于f(x)在x?处连续，可以将x?附近的f(x)近似表示为f(x?) + [f(x) f(x?)]，这样原式就变成了[f(x?) + (f(x) f(x?)) f(x?)]/(x x?) = (f(x) f(x?))/(x x?)。

由于在去心邻域内f(x)可导，所以(f(x) f(x?))/(x x?)的极限存在，即f'(x?)。因此，f(x)在x?处可导，且f'(x?) = lim(x→x?) [f(x) f(x?)]/(x x?)。

这个证明的关键在于利用了f(x)在x?的某去心邻域内可导这一条件，通过极限的运算性质推导出在x?处也可导。值得注意的是，如果只是知道f(x)在x?处连续，并不能直接得出f(x)在x?处可导，因为连续性并不一定能保证导数的存在。

问题二：定积分的应用题——求旋转体体积

题目：求曲线y = √x在x=1和x=4之间绕x轴旋转所形成的旋转体体积。

解答：我们要明确旋转体体积的计算公式。当曲线y=f(x)在[a,b]区间内绕x轴旋转时，其形成的旋转体体积V可以表示为V = π∫[a,b] f(x)2 dx。

在本题中，曲线y = √x，所以f(x) = √x，a=1，b=4。将这些值代入公式，我们得到V = π∫[1,4] (√x)2 dx = π∫[1,4] x dx。

接下来，我们需要计算定积分∫[1,4] x dx。根据不定积分的基本公式，∫ x dx = x2/2 + C。因此，定积分为[1,4] x dx = (42/2) (12/2) = 8 0.5 = 7.5。

将定积分的结果代入旋转体体积公式，得到V = π 7.5 = 7.5π。这就是曲线y = √x在x=1和x=4之间绕x轴旋转所形成的旋转体体积。

问题三：级数收敛性的判断题

题目：判断级数∑[n=1 to ∞] (n2 + 1)/(n3 + n)的收敛性。

解答：要判断级数∑[n=1 to ∞] (n2 + 1)/(n3 + n)的收敛性，我们可以使用比值判别法。比值判别法的基本思想是考察级数相邻两项的比值在n趋于无穷时的极限。

设a_n = (n2 + 1)/(n3 + n)，我们需要计算lim(n→∞) a_(n+1)/a_n。我们写出a_(n+1)的表达式：( (n+1)2 + 1)/((n+1)3 + (n+1))。

然后，计算比值a_(n+1)/a_n：( (n+1)2 + 1)/((n+1)3 + (n+1)) ÷ ( (n2 + 1)/(n3 + n) ) = ( (n+1)2 + 1)(n3 + n) / ( (n2 + 1)((n+1)3 + (n+1)) )。

接下来，我们简化这个表达式。展开分子和分母的多项式：(n2 + 2n + 1)(n3 + n) / (n2 + 1)(n3 + 3n2 + 3n + 1) = (n5 + 2n4 + n3 + n3 + 2n2 + n) / (n5 + 3n4 + 3n3 + n2 + n3 + 3n2 + 3n + n2 + n)。

进一步简化，合并同类项：分子为n5 + 2n4 + 2n3 + 2n2 + n，分母为n5 + 3n4 + 4n3 + 5n2 + 4n。当n趋于无穷时，最高次项n5在分子和分母中都占主导地位，因此比值趋于1。

根据比值判别法，当比值极限为1时，无法直接判断级数的收敛性。这时，我们可以尝试使用其他方法，比如比较判别法。观察a_n = (n2 + 1)/(n3 + n) ≈ n(-1)当n很大时，这与调和级数1/n的项类似。

我们知道调和级数1/n是发散的，因此根据比较判别法，如果a_n与1/n的比值趋于一个非零的常数，那么级数∑a_n也是发散的。计算比值lim(n→∞) a_n/(1/n) = lim(n→∞) n (n2 + 1)/(n3 + n) = lim(n→∞) (n3 + n)/(n3 + n) = 1。

由于比值极限为1，根据比较判别法，级数∑[n=1 to ∞] (n2 + 1)/(n3 + n)是发散的。

问题四：微分方程的求解题

题目：求解微分方程y' y = x。

接下来，计算积分因子μ(x)：μ(x) = e[∫ P(x) dx] = e[∫ -1 dx] = e(-x)。

将积分因子乘以原方程的两边：e(-x) y' e(-x) y = x e(-x)。

左边可以写成(e(-x) y)'的形式：d/dx (e(-x) y) = x e(-x)。

两边同时积分：(e(-x) y) = ∫ x e(-x) dx。

使用分部积分法计算右边的积分，设u=x，dv=e(-x) dx，则du=dx，v=-e(-x)：

∫ x e(-x) dx = -x e(-x) ∫ -e(-x) dx = -x e(-x) + e(-x) + C。

因此，(e(-x) y) = -x e(-x) + e(-x) + C。

两边同时乘以ex，得到通解：y = -x + 1 + Cex。

在求解微分方程时，一定要正确识别方程类型，并选择合适的方法。对于一阶线性微分方程，常数变易法是一种通用的方法，但有时也可以使用其他方法，比如积分因子法。

问题五：多元函数的偏导数计算题

题目：设z = x2 y + y2，求z对x的偏导数和对y的偏导数。

解答：这是一个二元函数，我们需要分别计算它对x和y的偏导数。在计算偏导数时，我们暂时将另一个变量视为常数。

计算z对x的偏导数?z/?x。将y视为常数，对x求导：?z/?x = ?/?x (x2 y + y2) = 2xy + 0 = 2xy。

接下来，计算z对y的偏导数?z/?y。将x视为常数，对y求导：?z/?y = ?/?y (x2 y + y2) = x2 + 2y。

因此，函数z = x2 y + y2对x的偏导数为2xy，对y的偏导数为x2 + 2y。

在计算偏导数时，一定要明确自变量和因变量，并正确应用求导法则。对于多元函数，偏导数描述了函数在某个方向上的变化率，因此在实际问题中具有重要的应用价值。