考研数学859数量篇核心考点深度解析

考研数学859的数量篇是考生备考的重中之重，涵盖了测度论、泛函分析等核心内容。本文将结合历年真题，深入剖析数量篇的常见考点，从理论基础到解题技巧进行全面梳理。无论是初次接触测度论的同学，还是希望突破泛函分析难点的考生，都能从中找到针对性指导。文章通过典型例题解析，帮助考生掌握复杂概念的理解方法，同时提供实用答题策略，助力高分突破。

问题一：测度论中外测度与内测度的关系如何判定？

外测度与内测度的关系是测度论中的基础问题，正确理解两者关系对后续学习勒贝格积分至关重要。外测度是针对任意集合的广义度量，通过覆盖方式定义；内测度则是从集合内部出发，通过取子集 supremum 得到。当且仅当集合 A 是可测集时，外测度与内测度相等。判定方法主要有两个维度：

• 利用勒贝格可测性条件：若集合 A 满足对任意 ε > 0，存在开集包含 A 且外测度差小于 ε，同时 A 的补集也有类似性质，则 A 可测。
• 通过覆盖数列验证：通过构造阶梯函数逼近，若 f(x) = sup{m-1：m≤f(x)