2020考研数学二重点难点突破：常见问题深度解析

2020考研数学二备考进入关键阶段，许多考生在复习过程中遇到了各种各样的问题。为了帮助大家更好地理解和掌握考试内容，本文将针对数量部分常见的几个问题进行深度解析，涵盖极限、导数、积分等核心知识点。通过对问题的详细解答，帮助考生理清思路，突破难点，为最终考试打下坚实基础。

问题一：如何准确理解极限的保号性及其应用？

极限的保号性是考研数学中的一个重要概念，很多考生在应用时容易混淆。简单来说，保号性指的是：如果函数在某点的极限存在且大于零（或小于零），那么在该点附近的一个邻域内，函数值也必然保持同号的特性。这一性质在证明不等式和求解极限问题时非常有用。

举个例子，比如我们要证明当x→0时，sin(x)/x的极限为1。利用保号性，我们可以先通过夹逼定理得出0

问题二：导数的几何意义与物理意义如何区分和应用？

导数的几何意义和物理意义是考研数学中的常考点，很多考生容易将两者混淆。导数的几何意义指的是函数在某一点的切线斜率，即dy/dx在该点的值。而导数的物理意义则根据具体问题而定，比如速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数等。

在实际应用中，区分两者的关键在于明确问题的背景。例如，在求解曲线的切线方程时，我们只需要关注导数的几何意义，通过求导得到斜率，再结合点斜式方程即可。而在解决物理问题时，则需要根据具体情境选择合适的物理公式。比如，在求解物体运动的速度时，我们需要对位移函数求导；在求解加速度时，则需要对速度函数求导。无论是几何意义还是物理意义，导数的计算方法都是一致的，都是通过极限定义进行求解。因此，考生在复习时，不仅要掌握计算方法，更要理解其背后的意义，才能在考试中灵活应对。

问题三：定积分的牛顿-莱布尼茨公式在哪些情况下失效？

定积分的牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的重要工具，但它在某些情况下会失效。最常见的情况是当被积函数不连续时。因为牛顿-莱布尼茨公式要求被积函数在积分区间上连续，如果存在间断点，则公式不再适用。

举个例子，比如我们要计算∫[0,1] 1/x dx。显然，x=0处是无穷间断点，此时函数1/x在[0,1]上不连续，因此不能直接应用牛顿-莱布尼茨公式。正确的做法是将其拆分为瑕积分，分别计算左极限和右极限，看是否存在发散的情况。再比如，当被积函数在积分区间上存在振荡时，比如sin(1/x)，由于函数值在x=0附近无限振荡，也无法直接应用公式。这时，我们需要借助其他方法，比如傅里叶变换或拉普拉斯变换等。