考研数学武忠祥强化课后题难点突破与精解
考研数学武忠祥强化课后题是备考过程中极具代表性的练习材料，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的核心考点。这些题目不仅难度适中，更能有效检验考生对知识点的掌握程度。然而，不少同学在作答时仍会遇到各种困惑，如解题思路不清晰、计算易出错或对某些概念理解不透彻等。本文将精选3-5道典型问题，结合武忠祥老师的解题方法论，深入剖析其背后的数学逻辑，并提供详尽的解题步骤与技巧总结，帮助考生扫清障碍，全面提升应试能力。
问题一：函数极限的计算技巧
某同学在求解“lim (x→0) (ex cosx)/x2”时，直接代入得到“0/0”未定式，后续使用洛必达法则后计算繁琐且易错。其实，这类问题需结合泰勒展开简化处理。
解答：将ex和cosx分别展开至x2项：
- ex = 1 + x + x2/2 + o(x2)
- cosx = 1 x2/2 + o(x2)
于是原式变为“(1 + x + x2/2 + o(x2) (1 x2/2 + o(x2)))/x2 = (2x2/2)/x2 = 1”。此方法避免了重复求导的繁琐，关键在于熟练掌握基本函数的泰勒公式。
问题二：级数敛散性的判定
面对“∑(n=1→∞) (n2 + 1)/(n3 + 2n)”的敛散性判断，部分考生误用比值判别法导致结论错误。正确思路应先分析通项的渐近特性。
解答：观察n→∞时，分子分母最高次项均为n3，因此可简化为“∑(n=1→∞) 1/n”。这属于调和级数，发散。更严谨的证明可用极限比较法：
- 取基准级数1/n
- 计算lim(n→∞) [(n2+1)/(n3+2n) ÷ 1/n] = lim(n→∞) [(n3+n2)/(n3+2n)] = 1
因基准级数发散，原级数亦发散。此题警示我们，对于复杂通项需先提取主导项再选择合适判别法。
问题三：多元函数的极值求解
求解“f(x,y)=x3-y3+3xy”的极值时，某考生在求解偏导并令其为零后，未能正确分类讨论驻点类型。这暴露了对二阶导数检验方法的掌握不足。
解答：求一阶偏导并解方程组：
- fx=3x2+3y=0
- fy=-3y2+3x=0
得到驻点(0,0)和(-1,-1)。接着计算二阶导数矩阵A：
- A(0,0)=??300 30??，其行列式=0，无法直接判断
- A(-1,-1)=??6 -6??，A=36>0且fxx(-1,-1)=6>0，故为极小值点
对于(0,0)，因fxxy(0,0)=0，需用定义法检验。取y=kx沿不同方向发现函数值无统一变化趋势，故非极值点。此题关键在于理解二阶导数检验的充要条件，特别是混合偏导项对正负号的影响。