19考研数学二导数部分易错点深度解析

导数是考研数学二的重中之重，也是许多考生容易失分的环节。19年的考试中，导数的应用题、隐函数求导、参数方程求导等题型反复出现。本文将结合历年真题，从考生易错的角度出发，深入剖析导数计算中的常见问题，并提供切实可行的解题技巧。无论是基础薄弱还是追求高分，都能从中受益。

问题一：复合函数求导时漏掉某层函数

复合函数求导是导数部分的难点，很多考生在解题时会漏掉某层函数的导数，导致最终结果错误。例如，对于函数 y = sin(x2) ecosx，若直接对 ecosx 求导，就会忽略 sin(x2) 的变化率。

正确解法应该是：首先将函数拆解为 y = u v，其中 u = sin(x2)，v = ecosx。根据乘积求导法则，有 y' = u'v + uv'。接着分别求 u 和 v 的导数：

• u' = cos(x2) 2x（这里用了链式法则，先对 sin 求导，再对 x2 求导）
• v' = ecosx (-sinx)（同样用了链式法则，先对 ecosx 求导，再对 cosx 求导）

将 u'、v、u、v' 代入乘积求导公式，最终得到 y' = 2x cos(x2) ecosx + sin(x2) ecosx (-sinx)。考生在解题时，一定要确保每一层函数的导数都计算完整，避免漏项。

问题二：隐函数求导时忘记对参数求导

隐函数求导是考研数学二的常考点，很多考生在解题时会忽略对某些参数的求导，导致结果错误。例如，对于方程 2xy = sin(xy)，若直接对 y 求导，就会忽略 xy 本身的变化率。

正确解法应该是：首先对方程两边同时求导，注意 xy 是 x 和 y 的乘积，需要用乘积求导法则。对方程两边求导，得到 2y + 2x y' = cos(xy) (y + xy')。接下来解出 y'：

2y + 2x y' = cos(xy) y + cos(xy) xy'

2y = cos(xy) y + cos(xy) xy' 2x y'

2y cos(xy) y = cos(xy) xy' 2x y'

y (2 cos(xy)) = y' (cos(xy) x 2x)

y' = y (2 cos(xy)) / (cos(xy) x 2x)

考生在解题时，一定要确保对每一项都求导，特别是复合函数和隐函数的参数，否则会导致最终结果错误。

问题三：参数方程求导时忽略分母不为零的条件

参数方程求导是考研数学二的难点，很多考生在解题时会忽略分母不为零的条件，导致结果错误。例如，对于参数方程 x = t2 + 1，y = t3 t，若直接求 y'，就会忽略 dx/dt ≠ 0 的条件。

正确解法应该是：首先求 dx/dt 和 dy/dt：

dx/dt = 2t

dy/dt = 3t2 1

然后根据参数方程求导公式 y' = dy/dt / dx/dt，得到 y' = (3t2 1) / 2t。但考生需要注意，当 dx/dt = 0 时，即 t = 0 时，参数方程求导无意义。因此，在解题时，一定要检查分母是否为零，避免出现未定义的情况。