高等数学考研选择题精解：常见陷阱与应对策略

在高等数学考研备考中，选择题是考察基础知识和应用能力的重要部分。这类题目往往设计巧妙，容易让人陷入思维误区。本文精选了3-5道典型的高等数学考研选择题，深入剖析其解题思路、常见错误及应对方法，帮助考生避开陷阱，提升答题准确率。

问题一：极限计算中的等价无穷小替换

已知当x→0时，函数f(x) = x2sin(1/x) + x3cos(1/x)，则lim(x→0) f(x)的值为多少？

答案：

这道题看似复杂，但关键在于正确处理极限中的三角函数项。我们注意到sin(1/x)和cos(1/x)在x→0时都没有极限，但它们的绝对值都不超过1。因此，x2sin(1/x)的极限为0，因为x2→0且sin(1/x)有界。而x3cos(1/x)的极限也为0，理由相同。所以，f(x)的极限就是0+0=0。很多同学可能会误以为需要使用洛必达法则，但实际上这里直接用无穷小量乘有界量的性质就能解决，避免了不必要的复杂计算。

问题二：多元函数的偏导数计算

设z = arcsin(x2 + y2)，则?z/?x在点(1,0)处的值为多少？

答案：

这道题考察的是复合函数的偏导数计算。我们用链式法则处理z = arcsin(u)，其中u = x2 + y2。对z关于x求偏导，得到?z/?x = (1/√(1-u2)) ?u/?x。因为?u/?x = 2x，所以在点(1,0)处，u=1，代入可得?z/?x=0。这里很多同学容易忽略u=1时分母为0的问题，从而得到错误答案。正确做法是先判断u的值，再代入计算，避免除零错误。

问题三：级数的收敛性判断

下列级数中，收敛的是哪个？

① ∑(n=1→∞) (n+1)/n2； ② ∑(n=1→∞) (-1)?/(n√n)； ③ ∑(n=1→∞) 1/(nlnn)。

答案：

这道题需要分别判断三个级数的收敛性。对于①，我们可以用比较判别法，因为(n+1)/n2 ≈ 1/n2，而∑1/n2是p=2的p级数，收敛。对于②，是交错级数，满足莱布尼茨判别法的条件，所以收敛。而③是正项级数，可以用积分判别法，因为∫1/(xlnx)dx = ln(lnx) + C，发散，所以原级数也发散。很多同学在判断③时会忽略积分判别法，而误用比值判别法导致错误。