2024考研数学一第21题深度解析与常见误区辨析

2024年考研数学一第21题主要考查了某函数的极限计算问题，结合了洛必达法则与泰勒展开的技巧，题目设计较为灵活，对考生的综合能力提出了较高要求。许多考生在解题过程中容易陷入误区，如对极限存在性的判断失误、洛必达法则的误用等。本文将结合典型错误案例，系统梳理解题思路，帮助考生突破难点，提升应试水平。

常见问题与解答

问题1：如何正确使用洛必达法则处理未定式极限？

答案：洛必达法则适用于“0/0”或“∞/∞”型未定式，但使用前需确认极限确实存在或趋于无穷。例如，若某题中出现“1∞”型未定式，应先取对数转化为“0·∞”型，再通过变形应用洛必达法则。值得注意的是，若多次求导后极限仍无法确定，需考虑泰勒展开或其他方法。以本题为例，当分子分母均为高阶无穷小，直接求导可能导致计算复杂，此时泰勒展开能简化过程。但若考生盲目连续使用洛必达法则，未检查导数极限是否存在，则会导致错误。

问题2：泰勒展开的项数选择有何技巧？

答案：泰勒展开时，项数选择需根据极限中主导项决定。若分母次数较高，通常需保留至比分子高两阶的项，以避免舍去关键项。例如，本题中若仅展开到二阶，可能忽略高阶修正，导致结果偏差。考生应先分析极限形式，判断余项影响是否可忽略。展开时需注意变量替换，如将“x→0”时的sin(x)替换为x+o(x)，避免因符号错误失分。许多考生因忽略余项符号而计算错误，需特别注意。

问题3：极限计算中如何避免循环论证？

答案：部分考生在证明极限存在性时，会直接代入结果验证，形成循环论证。正确做法应先通过夹逼定理或单调有界数列证明极限存在，再代入计算。例如，若题目要求证明某极限等于A，考生应先构造ε-δ语言证明A为唯一极限，再利用已证结论计算。以本题的辅助函数为例，若直接用极限值代入求解，未验证函数在邻域内的连续性，则逻辑不严谨。建议考生将证明与计算分步进行，避免因逻辑漏洞失分。