张宇考研数学2025课后题疑难突破：精选问题深度解析

在考研数学的备考过程中，张宇老师的《考研数学2025课后习题》是许多考生手中的重要资料。这本习题集不仅涵盖了广泛的考点，还通过精心设计的题目帮助考生巩固知识、提升解题能力。然而，在完成习题的过程中，考生们常常会遇到一些难以理解的题目，或者对某些解题思路感到困惑。为了帮助大家更好地攻克这些难点，我们特别整理了数道课后题中的常见问题，并提供了详细的解答思路。这些问题既涉及基础概念，也包含了一些综合性较强的题目，旨在帮助考生全面掌握考研数学的核心知识点，为最终考试打下坚实基础。

问题一：函数极限的计算技巧

在《考研数学2025课后习题》中，函数极限的计算是考生们普遍反映的一个难点。很多同学在遇到含有绝对值、三角函数或复合函数的极限问题时，往往不知道从何处入手。下面我们通过一道具体的题目来解析这类问题的解题思路。

【例题】计算极限 lim (x→0) [(x2 + x)3 x6] / (x sin x)

【解答】我们观察到分子中含有(x2 + x)3 x6，可以尝试将其简化。通过展开和合并同类项，可以得到：

(x2 + x)3 x6 = [x2(1 + x)]3 x6 = x6(1 + x)3 x6 = x6[(1 + x)3 1]

接下来，我们需要计算(1 + x)3 1的极限。利用二项式定理展开，可以得到：

(1 + x)3 1 = 1 + 3x + 3x2 + x3 1 = 3x + 3x2 + x3

因此，原极限可以化简为：

lim (x→0) [x6(3x + 3x2 + x3)] / (x sin x)

进一步简化，可以得到：

lim (x→0) [3x7 + 3x8 + x9] / (x sin x)

由于当x→0时，sin x ≈ x x3/6，因此x sin x ≈ x (x x3/6) = x3/6。将这一近似代入原式，可以得到：

lim (x→0) [3x7 + 3x8 + x9] / (x3/6) = lim (x→0) [18x4 + 18x5 + 6x6]

当x→0时，高次项可以忽略不计，因此最终极限为0。通过这一过程，我们可以看到在计算函数极限时，合理利用近似和化简是关键。

问题二：多元函数微分的应用

多元函数微分在考研数学中也是一个重要的考点，很多同学在应用微分解决实际问题时感到困难。下面我们通过一道具体的题目来解析多元函数微分的应用技巧。

【例题】已知函数f(x, y) = x2 + y2 2xy，求在点(1, 1)处的梯度，并解释其几何意义。

【解答】我们需要计算函数f(x, y)在点(1, 1)处的梯度。梯度是一个向量，其分量分别是函数对各变量的偏导数。因此，我们需要先计算f(x, y)对x和y的偏导数。

对x的偏导数为：

?f/?x = 2x 2y

对y的偏导数为：

?f/?y = 2y 2x

在点(1, 1)处，偏导数的值为：

?f/?x(1, 1) = 2(1) 2(1) = 0

?f/?y(1, 1) = 2(1) 2(1) = 0

因此，梯度向量为：

?f(1, 1) = (0, 0)

梯度的几何意义是函数在该点处的方向导数最大的方向。当梯度为(0, 0)时，表示函数在该点处没有方向导数，即函数在该点处是平坦的，没有变化。

通过这一过程，我们可以看到在应用多元函数微分时，理解梯度的概念和计算方法是关键。同时，梯度的几何意义也有助于我们更好地理解函数的变化趋势。

问题三：积分的计算技巧

积分是考研数学中的另一个重要考点，很多同学在计算积分时感到困难，尤其是含有参变量的积分问题。下面我们通过一道具体的题目来解析积分的计算技巧。

【例题】计算积分 ∫(0→1) x2 e(-x3) dx

【解答】我们可以尝试通过换元法来简化积分。令u = x3，则du = 3x2 dx，因此x2 dx = du/3。积分的上下限也需要相应地变化，当x=0时，u=0；当x=1时，u=1。因此，原积分可以化简为：

∫(0→1) x2 e(-x3) dx = ∫(0→1) e(-u) du/3

将常数3提到积分号外面，可以得到：

∫(0→1) e(-u) du/3 = 1/3 ∫(0→1) e(-u) du

接下来，我们需要计算e(-u)的不定积分。e(-u)的不定积分为-e(-u)，因此：

1/3 ∫(0→1) e(-u) du = 1/3 [-e(-u)](0→1) = 1/3 [-e(-1) (-e0)] = 1/3 [1 1/e]

因此，原积分的值为：

∫(0→1) x2 e(-x3) dx = 1/3 (1 1/e)

通过这一过程，我们可以看到在计算积分时，合理利用换元法是关键。同时，理解积分的基本性质和计算方法也有助于我们更好地解决积分问题。