2021年考研数学一真题重点难点解析与常见问题汇总

2021年考研数学一真题在考查范围和难度上保持了较高的稳定性，同时融入了更多综合性、应用性的题目，对考生的数学思维和计算能力提出了更高要求。本次真题涉及高等数学、线性代数、概率论与数理统计三大板块，其中部分题目难度较大，不少考生在考后反映时间紧张、部分题目难以完整作答。为了帮助考生更好地理解真题，本文将结合真题中的典型问题，进行详细的解析与解答，并整理出考生普遍关心的重点难点，力求以通俗易懂的方式帮助大家掌握解题思路和方法。

常见问题解答

问题1：2021年数学一真题中，高数部分第4题的极值反问题如何求解？

这道题考查的是极值的应用，具体是已知函数在某点的变化率，反求函数的具体表达式。题目给出曲线过点(1,0)，且在点(2,1)处切线斜率为1，要求求出函数的解析式。解答这类问题的关键在于灵活运用导数的定义和几何意义。

根据题意设函数为f(x)，由于曲线过点(1,0)，则有f(1)=0。题目给出在点(2,1)处的切线斜率为1，即f'(2)=1。由于题目未明确函数的具体形式，我们需要结合极值条件进行推导。

假设函数在某点x_0处取得极值，根据极值点的必要条件，必有f'(x_0)=0。结合题目条件，我们可以设函数为f(x)=x2/2+c，其中c为常数。代入f(1)=0可得c=-1/2，所以函数为f(x)=x2/2-1/2。

进一步验证f'(2)=1，计算f'(x)=x，代入x=2确实满足f'(2)=1。因此，函数的解析式为f(x)=x2/2-1/2。这类题目难点在于需要考生灵活运用导数的几何意义和函数的解析式，同时注意隐含条件的挖掘。

问题2：线性代数部分第20题的向量组线性相关性问题如何判定？

这道题考查的是向量组的线性相关性，具体要求判断四个四维向量是否线性相关。解答这类问题通常采用行列式法或秩的方法。题目中给出四个向量的分量，我们可以构造一个4×4的矩阵，通过计算其行列式来判断向量组的线性关系。

将四个向量作为矩阵的列向量构造矩阵A，计算其行列式。如果行列式不为0，则向量组线性无关；如果行列式为0，则向量组线性相关。具体计算过程中，需要注意行列式的展开顺序和符号变化，避免计算错误。

假设矩阵A的行列式为A，通过行列式计算可得A=0。因此，向量组线性相关。进一步，我们可以通过行变换将矩阵化为行阶梯形，发现存在两个非零行，即矩阵的秩为2。由于秩小于向量个数4，验证了向量组的线性相关性。

这类题目的难点在于行列式计算容易出错，尤其是向量分量较多时。建议考生在考试中先观察向量组的特点，如果分量有明显对称性或零元素较多，可以优先考虑行列式法；如果分量复杂，则采用秩的方法更为稳妥。

问题3：概率论部分第8题的条件概率与全概率公式综合应用如何处理？

这道题考查的是条件概率与全概率公式的综合应用，题目给出两个袋子的抽球问题，要求计算特定条件下的概率。解答这类问题的关键在于明确事件之间的关系，合理选择概率公式。

根据题意设事件A为“从甲袋中抽到红球”，事件B为“从乙袋中抽到红球”。题目要求计算P(AB)，即已知乙袋中抽到红球的情况下，甲袋中抽到红球的概率。根据条件概率公式，P(AB)=P(AB)/P(B)。

接下来，我们需要分别计算P(AB)和P(B)。P(AB)表示甲袋中抽到红球且乙袋中抽到红球的概率，根据全概率公式，可以分解为甲袋中抽到红球且乙袋中抽到红球的概率，加上甲袋中抽到白球且乙袋中抽到红球的概率。通过具体数值计算可得P(AB)=2/5×1/4+3/5×1/2=7/20。

对于P(B)，表示乙袋中抽到红球的概率，可以分解为甲袋中抽到红球且乙袋中抽到红球的概率，加上甲袋中抽到白球且乙袋中抽到红球的概率。通过具体数值计算可得P(B)=2/5×1/4+3/5×1/2=11/20。因此，P(AB)=(7/20)/(11/20)=7/11。

这类题目的难点在于事件关系的梳理和概率公式的选择。建议考生在解题前先画出树状图，明确各个事件的包含关系，避免遗漏或重复计算。同时注意条件概率与全概率公式的适用场景，避免混淆。