考研数学二经典例题深度剖析：常见误区与解题技巧

在考研数学二的备考过程中，许多考生常常被一些典型的例题难住，尤其是那些涉及计算复杂、概念抽象的题目。为了帮助大家更好地理解和掌握解题方法，我们整理了几个常见的例题，并对其中的难点和易错点进行了详细解析。这些例题不仅覆盖了考研数学二的重点知识点，还融入了实用的解题技巧，旨在帮助考生在实战中少走弯路，提升答题效率。

例题1：函数零点存在性问题

问题：如何判断一个连续函数在某个区间内是否存在零点？

在考研数学二中，判断函数零点存在性是常见的考点，很多考生容易忽略“连续性”这一前提条件。例如，题目给出函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，如何证明f(x)在该区间内至少有一个零点？

解答：根据介值定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)的符号相反，即f(a)f(b) < 0，那么在(a, b)内至少存在一个点ξ，使得f(ξ) = 0。这个定理的核心在于“连续性”和“符号相反”，缺一不可。如果题目只说函数在开区间内单调，而没有明确连续性，那么结论可能不成立。考生还需注意，零点存在性定理只能证明零点的“存在性”，不能确定零点的具体位置和数量。

例题2：定积分的计算技巧

问题：在计算定积分时，如何选择合适的积分方法？

定积分的计算是考研数学二的难点之一，很多考生面对复杂的被积函数时感到无从下手。例如，计算∫[0, π/2] sin3(x) dx时，如何选择最简便的积分方法？

解答：对于这类积分，通常有两种方法：一是利用幂函数的积分公式，二是采用三角函数的换元法。具体来说，sin3(x)可以写成sin(x)(1 cos2(x))，然后展开积分；另一种方法是令u = cos(x)，则du = -sin(x) dx，积分区间也随之改变。相比之下，换元法更为简便，因为这样可以避免复杂的幂函数展开。考生还需注意，定积分的计算过程中，积分区间和被积函数的性质密切相关，选择合适的积分方法可以大大简化计算过程。

例题3：级数收敛性的判断

问题：如何判断一个级数的收敛性？

级数收敛性是考研数学二的另一个重要考点，很多考生容易混淆不同的收敛性判别法。例如，判断级数∑[n=1 to ∞] (n2 + 1) / (n3 + n)的收敛性时，应该如何选择判别法？

解答：对于这类级数，通常可以采用比较判别法或极限比较判别法。观察被积函数(n2 + 1) / (n3 + n)在n趋于无穷时的行为，可以发现它类似于1 / n，因此可以考虑与p-级数进行比较。具体来说，p-级数∑[n=1 to ∞] 1 / np在p > 1时收敛，p ≤ 1时发散。由于(n2 + 1) / (n3 + n)与1 / n2相似，可以判断该级数收敛。另一种方法是采用极限比较判别法，即计算lim[n→∞] [(n2 + 1) / (n3 + n)] / (1 / n2)，如果极限为常数，则两级数具有相同的收敛性。通过计算可以发现，该极限为1，因此原级数收敛。考生在判断级数收敛性时，需要根据被积函数的特点选择合适的判别法，避免盲目套用公式。