考研数学核心概念与公式深度解析

考研数学中，定义与公式的理解与应用是考生得分的关键。无论是高等数学、线性代数还是概率统计，准确掌握核心概念和公式，并学会灵活运用，才能在考试中游刃有余。本文将针对几个高频考点，结合具体问题与答案，帮助考生深入理解，避免常见的认知误区。

问题一：什么是定积分的定义？如何计算定积分的几何意义？

定积分的定义来源于黎曼和的极限，是描述函数在某一区间上“累加”效应的核心工具。具体来说，设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，将[a, b]任意分割为n个小区间，每个小区间的长度为Δx_i，取每个小区间上的任意点ξ_i，则黎曼和为Σf(ξ_i)Δx_i。当分割越来越细，即最大小区间长度趋于0时，黎曼和的极限称为定积分，记作∫[a, b]f(x)dx。

定积分的几何意义是函数图像与x轴之间在[a, b]区间上的“面积”。若f(x)≥0，则定积分表示曲边梯形的面积；若f(x)≤0，则表示面积的负值。例如，计算∫[0, 1]√x dx时，√x在[0, 1]上为上凸函数，其图像与x轴围成的面积为1/2，即√x从0到1的“累加”效果等于1/2。若函数在区间内有间断点，需分段计算或排除不可积情况。

问题二：数列极限的ε-δ定义如何表述？如何证明数列收敛？

数列极限的ε-δ定义是微积分的基石。设{a_n