张宇考研数学2026版常见考点深度解析

考研数学作为全国硕士研究生招生考试的公共课，其难度和重要性不言而喻。张宇老师2026新版教材凭借其独特的解题思路和清晰的逻辑体系，深受广大考生的喜爱。然而，在学习和使用过程中，不少同学会遇到一些困惑。本栏目将针对教材中的重点难点问题，以问答形式进行深度解析，帮助考生更好地理解和掌握核心知识点，为考研之路扫清障碍。

问题一：如何理解定积分的换元积分法？

定积分的换元积分法是考研数学中一个非常重要的技巧，它能够简化复杂的积分计算。具体来说，换元积分法主要分为两类情况：第一类是三角换元，适用于被积函数中含有根式或三角函数的情况；第二类是凑微分换元，适用于被积函数可以通过凑微分的方式简化。在使用换元积分法时，需要注意以下几个要点：

• 换元的同时要换积分限，即新的积分上下限要对应原积分上下限经过换元后的值。
• 换元后，新的被积函数要与原被积函数在积分区间内等价。
• 换元后，积分区间可能需要分段处理，特别是当被积函数在积分区间内不连续时。

举个例子，比如计算定积分∫₀¹√(1-x2)dx，我们可以使用三角换元x=sinθ，那么dx=cosθdθ，积分限从0到1对应θ从0到π/2。换元后，原积分变为∫₀^π/2√(1-sin2θ)cosθdθ=∫₀^π/2cos2θdθ。这个积分可以通过半角公式进一步简化为∫₀^π/2(1+cos2θ)/2dθ，最终计算结果为π/4。这个例子充分展示了换元积分法的应用技巧和优势。

问题二：级数收敛性的判别方法有哪些？

级数收敛性是考研数学中的一个重要考点，常见的判别方法包括正项级数判别法、交错级数判别法以及绝对收敛与条件收敛的概念。正项级数判别法主要包括比值判别法、根值判别法以及比较判别法。比值判别法主要通过计算相邻项的比值极限来判断级数的收敛性，如果比值极限小于1，则级数收敛；如果比值极限大于1，则级数发散；如果比值极限等于1，则无法判断。根值判别法则是通过计算项的n次方根的极限来判断级数的收敛性，其原理与比值判别法类似。比较判别法则通过与已知收敛或发散的级数进行比较来判断级数的收敛性，通常需要一定的技巧和经验。

以交错级数∑_n=1^∞(-1)ⁿu_n为例，其中u_n单调递减且limn>0，根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。而绝对收敛与条件收敛的概念则是通过判断级数的绝对值级数是否收敛来区分的。如果级数的绝对值级数收敛，则原级数绝对收敛；如果级数的绝对值级数发散而原级数收敛，则原级数条件收敛。这些判别方法在实际应用中需要灵活运用，结合具体问题进行分析。

问题三：多元函数微分学的应用有哪些？

多元函数微分学在考研数学中是一个重要的组成部分，其应用广泛，主要包括极值与最值问题、隐函数求导以及方向导数与梯度计算。极值与最值问题是多元函数微分学中的一个核心内容，通常需要通过求解偏导数并找到驻点来确定极值，然后通过比较驻点周围的函数值来确定最值。隐函数求导则是通过隐函数定理来求解隐函数的导数，通常需要对方程两边同时求偏导数，然后解出所需的导数。

方向导数与梯度计算则是多元函数微分学的另一个重要应用，方向导数表示函数在某一点沿某一方向的变化率，梯度则是函数在该点的最大变化率方向。在实际应用中，方向导数和梯度经常用于优化问题、物理场分析等领域。例如，在求解多元函数的最小值问题时，可以通过梯度下降法来逐步逼近最小值点。这些应用不仅考察了考生对多元函数微分学基本概念的理解，还考察了考生的实际应用能力。