考研数学一：多元函数微分学常见问题精解

考研数学一中的多元函数微分学是核心考点之一，涉及偏导数、全微分、方向导数及梯度等多个概念。考生常在复合函数求导、隐函数求导及极值判别等方面遇到困难。本文以百科网风格，通过典型问题解析，帮助考生厘清易错点，掌握解题技巧。内容涵盖基础概念辨析、计算方法及实际应用，力求解答详尽且贴近考情。

问题一：如何正确理解方向导数与梯度的区别？

方向导数和梯度都是描述多元函数变化率的重要工具，但两者概念及计算方式存在本质差异。方向导数是函数沿任意方向的变化率，其值不仅取决于函数本身，还与方向向量相关；而梯度则是函数变化最快的方向及其大小，方向恒为等高线法线方向。具体来说，设函数f(x,y)在点P处可微，方向导数沿单位向量u=(a,b)的值为?f·u=fxa+fyb，其中fx、fy分别为偏导数。梯度?f=(fx,fy)的方向指向函数值增加最快的方向，模长等于该方向的变化率。考生易混淆点在于：方向导数可正可负，而梯度恒为非负向量；计算方向导数时需先单位化方向向量，梯度则无需此步骤。例如，在f(x,y)=x2+y2上，点(1,1)处沿u=(1,1)的方向导数为√2，而梯度为(2,2)。

问题二：复合函数求导的链式法则如何应用？

复合函数求导是考研中的高频考点，关键在于理清复合层次。设z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y)，则全导数?z/?x=?f/?u·?u/?x+?f/?v·?v/?x，同理?z/?y=?f/?u·?u/?y+?f/?v·?v/?y。考生常犯错误包括：

问题三：隐函数求导中全微分的应用技巧有哪些？

隐函数求导涉及两类问题：由F(x,y)=0求dy/dx或由F(x,y,z)=0求?z/?x。核心方法是全微分形式不变性。以F(x,y)=0为例，两边求全微分得Fxdx+Fydy=0，解出dy/dx=-Fx/Fy。关键点：