考研数学二第一章核心考点深度解析与实战技巧

考研数学二的第一章主要围绕函数、极限与连续性展开，是后续学习微积分等知识的基础。这一章节不仅概念性强，而且涉及大量计算与证明，是考生普遍的难点所在。常见的考法包括极限的计算、函数连续性的判断以及闭区间上函数性质的综合应用。难点则在于对抽象概念的直观理解，以及复杂极限变形时的逻辑推理能力。掌握好这一章节，不仅能为后续课程打下坚实基础，还能在考试中取得高分。

常见考法及难点解析

问题一：如何高效计算未定式极限？

未定式极限是考研数学二第一章的重点，也是难点。常见的未定式包括“0/0”“∞/∞”“0·∞”“∞-∞”等。解决这类问题的关键在于灵活运用各种计算方法，如洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒展开等。以“0/0”型为例，若直接代入得到未定式，通常优先考虑洛必达法则，即对分子分母同时求导，直到不再出现未定式为止。但要注意，洛必达法则并非万能，有时需要结合等价无穷小简化计算。例如，计算极限lim(x→0) [xsin(x) x2] / x3，直接应用洛必达法则较为繁琐，若换成lim(x→0) [sin(x) x] / x2，再结合等价无穷小sin(x)~x x3/6，则可快速得出答案为-1/6。

问题二：如何判断函数间断点的类型？

函数连续性是考研数学二第一章的另一大考点。判断间断点类型时，首先要明确间断点的定义：若函数在某点处不连续，则该点为间断点。间断点的类型分为三类：第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点）。解题时，通常需要先找出可疑间断点（如分母为零、对数函数的底数趋近于零等），再通过极限判断其类型。例如，考察函数f(x) = (x2 1)/(x 1)在x=1处的连续性。表面上看分母为零，但分子分母有公因式，约分后变为f(x) = x + 1。此时极限存在且等于2，但原函数在x=1处无定义，故为可去间断点。若改为f(x) = x/(x 1)，则左极限为-1，右极限为1，属于跳跃间断点。

问题三：闭区间上最值问题的求解技巧有哪些？

闭区间上最值问题是考研数学二第一章的综合应用题。求解时，通常需要按照以下步骤进行：首先求出函数在区间内的所有驻点（导数为零的点）和不可导点；其次计算端点处的函数值；最后比较所有这些值，最大者为最大值，最小者为最小值。特别要注意的是，若函数在闭区间上单调，则最值必在端点处取得。例如，求函数f(x) = x3 3x2 + 2在[-1,4]上的最值。先求导f'(x) = 3x2 6x，解得驻点x=0和x=2。计算得f(-1)=4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。因此最大值为18，最小值为-2。这类问题容易出错的地方在于遗漏不可导点或忽略单调区间端点，因此建议使用表格法整理驻点、不可导点和端点的函数值。