考研数学杨超基础习题集疑难解析：精选问题深度剖析

考研数学备考过程中，基础习题集是检验学习效果、巩固知识体系的重要工具。杨超老师的基础习题集涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计的核心考点，但不少考生在练习时仍会遇到理解偏差、解题思路卡壳等问题。本栏目精选习题集中的典型难点，以百科网风格进行系统性解答，帮助考生厘清概念、突破瓶颈，提升应试能力。以下将针对3-5个高频问题展开详细解析，内容结合教材与真题，力求通俗易懂、逻辑清晰。

问题一：定积分中“换元法”的应用技巧与常见误区

定积分的换元法是考研数学中的高频考点，但很多同学在操作时容易忽略变量代换后的积分区间调整，或对三角换元中的三角函数符号判断不清。例如，在计算∫₀¹√(1-x2)dx时，若直接令x=sinθ，需注意θ的取值范围。正确步骤如下：
1. 令x=sinθ(θ∈[0,π/2])，则dx=cosθdθ，积分区间变为θ∈[0,π/2]；
2. 被积函数转化为∫cos2θdθ，利用二倍角公式拆解为(1+cos2θ)/2；
3. 计算后需反代回原变量，但此处因θ∈[0,π/2]，cosθ始终为正，无需额外讨论符号。
常见错误包括：①忘记调整积分上下限；②三角换元时忽略θ的取值对函数符号的影响。建议考生通过绘制辅助三角形辅助理解，并总结常见换元公式（如t=1/x，x=at等）的适用场景。

问题二：数列极限的“夹逼定理”证明中的不等式构造

夹逼定理是求数列极限的利器，但如何找到合适的“夹逼”序列是难点。以证明lim(n→∞)(n2+1)/n3=0为例，正确思路是：
1. 观察n2+1与n3的增长关系，将原式拆为1/n+1/n3；
2. 明确1/n3→0，只需控制1/n的收敛性，构造a_n=0≤(n2+1)/n3≤1/n；
3. 由两边极限均为0可得原式极限为0。
关键点在于不等式构造需满足“同向夹逼”，即中间项严格被两边正数覆盖。若尝试构造a_n=1/n2≤(n2+1)/n3≤1/n，则因1/n2→0而1/n→0，看似满足条件，实则违反“两边极限相等”的定理前提。建议考生通过绘制数列图像，直观理解不等式链的合理性。

问题三：矩阵秩的初等行变换计算技巧

矩阵秩的计算是线性代数的核心考点，初等行变换虽是标准方法，但操作细节易出错。以计算矩阵A=(1 2 3; 2 4 6; 1 1 1)的秩为例：
1. 对第二行减去第一行的2倍，第三行减去第一行，得(1 2 3; 0 0 0; 0 -1 -2)；
2. 将第三行乘-1，再对第二行加第三行，最终化为(1 2 3; 0 -1 -2; 0 0 0)；
3. 非零行数为2，故r(A)=2。
常见误区包括：①变换过程中忽略行倍乘的符号；②错误合并行导致阶梯形矩阵识别错误。建议考生总结“左上角1法”和“全零行判断法”，即优先化简主对角线元素，若出现全零行则停止计数。