考研数学分析第二章核心考点深度解析与疑难突破

考研数学分析第二章主要围绕极限理论展开，是后续学习微积分等知识的基础。本章内容抽象性强，逻辑严谨，对学生的数学思维和计算能力都有较高要求。常见的难点包括极限的保号性、极限存在性的证明方法、函数极限与数列极限的关系等。本文将结合典型问题，深入剖析这些知识点的内涵，并给出详细的解题思路和技巧，帮助学生扫清学习障碍，为考研数学奠定坚实基础。

常见问题解答

问题一：如何证明函数在某点存在极限？

证明函数在某点存在极限，通常需要运用极限的定义，即“ε-δ”语言。具体来说，就是对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当自变量x满足0＜x-a＜δ时，函数值f(x)与极限值A的差的绝对值小于ε。在实际证明中，常见的思路有：

• 利用三角不等式放缩函数值，构造出关于δ的不等式
• 通过倒代换或分母有理化等方法简化表达式
• 结合极限的保号性等性质辅助证明

例如，证明lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=4时，可以先将分子因式分解，再约去零因子，最后根据极限的四则运算法则得到结论。在证明过程中要时刻关注ε的作用，确保每一步推导都符合极限定义的要求。

问题二：函数极限与数列极限的关系如何应用？

函数极限与数列极限的关系主要体现在海涅定理上，即函数f(x)在点a的极限存在当且仅当沿着所有收敛于a的数列{xn