2015年考研数学二真题重点难点解析及常见问题汇总

2015年考研数学二真题在考察范围和难度上都有所提升，不少考生在作答时遇到了各种问题。本文将结合真题中的重点题目，分析常见考点，并针对考生易错点提供详细解答，帮助大家更好地理解题目考查意图，提升解题能力。

常见问题解答

问题一：2015年真题中第10题的积分计算技巧有哪些？

这道题考查了定积分的计算方法，特别是换元积分法和分部积分法的综合运用。题目给出的被积函数含有绝对值符号，很多考生在处理时容易忽略分段讨论。正确做法是先将被积函数拆分为两部分，分别计算后再相加。具体来说，当x∈[0,1]时，x-1=1-x；当x∈[1,2]时，x-1=x-1。因此，原积分可以拆分为两个区间的积分之和：

∫₀¹ (x-1)dx + ∫₁² (x-1)dx

计算第一个积分时，可以直接套用定积分的基本公式；计算第二个积分时，需要先进行换元，令t=x-1，则积分区间变为[0,1]，原积分变为：

∫₀¹ tdt

这样计算起来就非常简单了。本题还考查了积分恒等式的应用，需要考生熟练掌握常见积分公式，才能快速找到解题思路。

问题二：真题中第15题的微分方程求解需要注意哪些细节？

这道题是一道典型的二阶常系数非齐次线性微分方程问题，很多考生在求解过程中容易出错。需要正确写出特征方程，并求出特征根。题目中给出的微分方程为：

y'' 4y' + 3y = x + 1

对应的特征方程为：

r2 4r + 3 = 0

解得特征根r?=1，r?=3。因此，齐次方程的通解为：

y^h = C?e^x + C?e^3x

接下来，需要求非齐次方程的特解。由于右侧非齐次项为x+1，可以设特解为y^p = Ax + B。将y^p代入原方程，得到：

3Ax + (3B 4A) = x + 1

通过比较系数，可以解得A=1/3，B=1/9。因此，特解为：

y^p = x/3 + 1/9

最终通解为：

y = C?e^x + C?e^3x + x/3 + 1/9

考生在求解过程中，最容易出错的地方是特解的设定和计算。需要特别注意的是，当右侧非齐次项为多项式时，特解的设定要高于非齐次项的次数。

问题三：真题中第19题的向量组线性相关性判断方法有哪些？

这道题考查了向量组的线性相关性，是线性代数部分的常见考点。题目给出了四个三维向量，要求判断它们是否线性相关。判断向量组线性相关性的基本方法有两种：一是通过行列式判断，二是通过定义判断。

可以计算这四个向量的行列式。如果行列式不为零，则向量组线性无关；如果行列式为零，则向量组线性相关。在本题中，计算得到的行列式为零，因此可以初步判断向量组线性相关。

可以通过定义来判断。即是否存在不全为零的常数k?、k?、k?、k?，使得：

k?α? + k?α? + k?α? + k?α? = 0

通过解这个方程组，可以发现存在非零解，因此向量组线性相关。本题还考查了向量组秩的概念，需要考生掌握向量组秩与线性相关性的关系。