考研数二2015重点难点解析：常见问题深度剖析

2015年的考研数学二考试在难度和题型上都有一定的特点，不少考生在备考过程中遇到了各种困惑。本文将针对当年考试中常见的几个问题进行详细解答，帮助考生更好地理解知识点，掌握解题技巧。内容涵盖了高数、线代和概率统计等多个模块，力求解答清晰、实用，适合广大考生参考。

问题一：2015年考研数二高数部分常见问题解答

2015年的考研数二高数部分难度适中，但不少考生在积分计算、级数求和以及微分方程应用上遇到了难题。以下是一些常见问题的解答：

问题1.1：定积分的计算技巧有哪些？

定积分的计算是高数部分的重点，也是难点。2015年的试卷中，定积分的计算题综合性较强，往往需要结合换元积分法和分部积分法。例如，某题要求计算∫₀¹ln(1+x)dx，很多考生在处理对数函数时感到棘手。其实，这类问题可以通过分部积分来解决。设u=ln(1+x)，dv=dx，则du=1/(1+x)dx，v=x。代入分部积分公式∫udv=uv-∫vdu，得到∫₀¹ln(1+x)dx=[xln(1+x)]₀¹-∫₀¹x/(1+x)dx。进一步计算可得结果为1-ln2。这类题目的关键在于灵活运用积分技巧，避免陷入繁琐的计算。

问题1.2：级数求和的常用方法有哪些？

级数求和是高数部分的另一个难点，2015年的试卷中涉及到了幂级数和交错级数的求和问题。例如，某题要求求和∑_n=1^∞(-1)ⁿn/(2n+1)，很多考生不知道如何下手。其实，这类问题可以通过构造函数来解决。考虑函数f(x)=arctan(x)，其导数为f'(x)=1/(1+x²)。通过积分可以得到f(x)=arctan(x)。将x=1代入可得arctan(1)=π/4。再通过幂级数展开可以得到∑_n=0^∞(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)。对比原级数，可以发现原级数实际上是幂级数在x=1时的特殊形式。通过这种方法，可以轻松求出级数的和为π/4-1。

问题二：2015年考研数二线代部分常见问题解答

线代部分在2015年的考研数二中难度较大，特别是矩阵运算和特征值问题。以下是一些常见问题的解答：

问题2.1：矩阵运算的技巧有哪些？

矩阵运算是线代部分的基础，也是难点。2015年的试卷中，矩阵运算题往往需要结合行列式和逆矩阵来解决。例如，某题要求计算矩阵A^-1，其中A为一个3阶矩阵。很多考生在计算过程中感到无从下手。其实，这类问题可以通过初等行变换来解决。将矩阵A与单位矩阵E并排放置，形成增广矩阵。然后通过初等行变换将A转化为单位矩阵，同时E就转化为A的逆矩阵。这种方法避免了繁琐的公式计算，大大提高了解题效率。

问题2.2：特征值和特征向量的求解方法有哪些？

特征值和特征向量是线代部分的另一个重点，也是难点。2015年的试卷中，特征值问题往往需要结合矩阵运算和行列式来解决。例如，某题要求求矩阵A的特征值和特征向量，其中A为一个2阶矩阵。很多考生在求解过程中感到困难。其实，这类问题可以通过求解特征方程来解决。设矩阵A的特征值为λ，则特征方程为A-λE=0。通过展开行列式可以得到特征值λ的值。然后，将λ代入(A-λE)x=0中，求解特征向量x。这种方法虽然计算量较大，但步骤清晰，容易掌握。

问题三：2015年考研数二概率统计部分常见问题解答

概率统计部分在2015年的考研数二中难度适中，但不少考生在分布函数和期望计算上遇到了难题。以下是一些常见问题的解答：

问题3.1：分布函数的求解技巧有哪些？

分布函数是概率统计部分的基础，也是难点。2015年的试卷中，分布函数题往往需要结合概率密度函数和积分来解决。例如，某题要求求随机变量X的分布函数F(x)，其中X的概率密度函数为f(x)。很多考生在求解过程中感到困难。其实，这类问题可以通过积分来解决。分布函数F(x)定义为F(x)=∫_-∞^xf(t)dt。通过积分可以得到分布函数的表达式。这种方法虽然计算量较大，但步骤清晰，容易掌握。

问题3.2：期望和方差的计算方法有哪些？

期望和方差是概率统计部分的另一个重点，也是难点。2015年的试卷中，期望和方差题往往需要结合分布函数和概率密度函数来解决。例如，某题要求求随机变量X的期望E(X)和方差D(X)，其中X的概率密度函数为f(x)。很多考生在求解过程中感到困难。其实，这类问题可以通过积分来解决。期望E(X)定义为E(X)=∫_-∞^∞xf(x)dx，方差D(X)定义为D(X)=E(X²)-(E(X))²。通过积分可以得到期望和方差的表达式。这种方法虽然计算量较大，但步骤清晰，容易掌握。