考研高数极限62道经典例题深度解析与常见误区辨析

在考研数学的备考过程中，极限部分是考生们普遍感到困惑的难点之一。本栏目精选了62道高数极限经典例题，通过详细的解析和常见问题的解答，帮助考生们系统掌握极限的计算方法、性质及技巧。这些问题涵盖了极限的定义、存在性判断、计算技巧等多个方面，旨在帮助考生们不仅学会解题，更能理解背后的数学逻辑。每道例题都配有精心的解答步骤和易错点提示，让考生们在练习中少走弯路。无论是基础薄弱还是希望拔高的考生，都能在这里找到适合自己的学习内容。

例题1：极限计算中的洛必达法则应用

问题：

在计算极限 lim (x→0) (ex 1 x) / x2 时，有的同学直接使用洛必达法则，但步骤繁琐且容易出错。请问如何正确运用洛必达法则，并有哪些常见的错误需要避免？

解答：

我们要判断这个极限是否适合使用洛必达法则。当x→0时，分子ex 1 x和分母x2都趋近于0，形成了0/0的不定式，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则告诉我们，对于0/0或∞/∞型的不定式，可以将分子和分母分别求导后再计算极限。在这里，我们对分子和分母分别求导：分子的导数是ex 1，分母的导数是2x。因此，原极限可以转化为 lim (x→0) (ex 1) / 2x。这时我们再次遇到了0/0型，需要继续应用洛必达法则。对分子和分母再次求导，得到分子的导数是ex，分母的导数是2。所以，原极限进一步转化为 lim (x→0) ex / 2。当x→0时，ex→1，因此最终极限值为1/2。

在应用洛必达法则的过程中，有一些常见的错误需要避免。洛必达法则只适用于0/0或∞/∞型的不定式，如果极限不是这两种形式，直接使用洛必达法则会导致错误的结果。每次使用洛必达法则前都要检查是否仍然是0/0或∞/∞型，如果不是，则不能再继续使用洛必达法则。另外，有些同学在求导过程中容易出错，特别是对于复杂的函数，需要仔细检查每一步的导数计算。如果多次使用洛必达法则后极限仍然无法求解，可以考虑使用其他方法，如等价无穷小替换或泰勒展开等。

例题2：极限存在性判断中的夹逼定理应用

问题：

在判断极限 lim (n→∞) (sqrt(n2 + n) n) / n 的存在性时，有的同学难以找到合适的夹逼序列。请问如何利用夹逼定理正确解决这个问题？

解答：

要判断这个极限的存在性，我们可以考虑使用夹逼定理。夹逼定理告诉我们，如果存在两个数列a_n和b_n，使得对于所有的n，都有a_n ≤ f_n ≤ b_n，并且lim (n→∞) a_n = lim (n→∞) b_n = L，那么lim (n→∞) f_n也等于L。在这里，我们可以尝试找到两个数列来夹逼原数列。

我们观察原数列 (sqrt(n2 + n) n) / n。当n→∞时，sqrt(n2 + n)可以近似为n，因此原数列可以近似为1。为了找到合适的夹逼序列，我们可以将分子和分母同时乘以sqrt(n2 + n) + n，这样可以得到一个等价的表达式：(n2 + n n2) / n(sqrt(n2 + n) + n) = 1 / (sqrt(n2 + n) + n)。这时，我们可以发现，当n→∞时，sqrt(n2 + n) + n→∞，因此原数列的值趋近于0。

为了使用夹逼定理，我们需要找到两个数列a_n和b_n，使得对于所有的n，都有a_n ≤ (sqrt(n2 + n) n) / n ≤ b_n，并且lim (n→∞) a_n = lim (n→∞) b_n = 0。我们可以选择a_n = 0和b_n = 1 / (sqrt(n2 + n) + n)。显然，对于所有的n，都有0 ≤ (sqrt(n2 + n) n) / n ≤ 1 / (sqrt(n2 + n) + n)。并且，当n→∞时，0和1 / (sqrt(n2 + n) + n)都趋近于0。因此，根据夹逼定理，lim (n→∞) (sqrt(n2 + n) n) / n = 0。

例题3：极限计算中的等价无穷小替换技巧

问题：

在计算极限 lim (x→0) (sin x x cos x) / x3 时，有的同学直接展开sin x和cos x的泰勒级数，导致计算过程非常复杂。请问如何利用等价无穷小替换简化计算？

解答：

在计算这个极限时，我们可以利用等价无穷小替换来简化计算。等价无穷小替换是极限计算中的一种常用技巧，它可以帮助我们快速得到极限的值。在x→0时，sin x和x是等价无穷小，cos x可以近似为1。

我们将分子sin x x cos x展开。由于sin x和x是等价无穷小，我们可以将sin x替换为x，得到x x cos x。然后，我们将cos x近似为1，得到x x = 0。因此，原极限可以简化为 lim (x→0) 0 / x3 = 0。

然而，这种简化是不准确的。实际上，sin x和x是等价无穷小，但它们的差值并不为0。为了得到正确的结果，我们需要更精确地利用等价无穷小替换。在x→0时，sin x可以展开为x x3 / 6 + O(x5)，cos x可以展开为1 x2 / 2 + O(x4)。因此，原极限可以展开为 lim (x→0) (x x3 / 6 + O(x5) x(1 x2 / 2 + O(x4))) / x3 = lim (x→0) (x x3 / 6 x + x3 / 2 + O(x5)) / x3 = lim (x→0) (-x3 / 6 + x3 / 2) / x3 = lim (x→0) (-1 / 6 + 1 / 2) = 1 / 3。