考研数学一2019真题难点解析：常见问题深度剖析

2019年考研数学一真题在考察范围和难度上都有所提升，不少考生在答题过程中遇到了各种难题。本文将结合真题中的典型问题，深入解析常见疑问，并提供详细解答，帮助考生更好地理解考点和答题技巧。无论是函数极限、多元微积分还是线性代数，这些问题都极具代表性，值得考生认真参考。

问题一：关于函数极限的计算技巧

在2019年数学一真题中，有一道关于函数极限的题目让很多考生感到困惑。题目要求计算极限 lim(x→0) [(cos x e(-x))/x2]，不少同学在求解过程中陷入了误区。正确答案是利用泰勒展开式和洛必达法则相结合的方法，但很多考生要么只用了泰勒展开，要么完全不会使用洛必达法则。

具体来说，我们可以先将cos x和e(-x)分别展开：cos x ≈ 1 x2/2 + x4/24，e(-x) ≈ 1 x + x2/2。代入原式得到 [(1 x2/2 + x4/24) (1 x + x2/2)]/x2 = (x x2/2 + x4/24 + x x2/2)/x2 = 2x x2 + x4/12。当x→0时，高阶无穷小项可以忽略，最终结果为2。当然，如果直接使用洛必达法则，需要连续求导两次，但这种方法对计算能力要求更高。

问题二：多元函数求导的常见错误

2019年数学一真题中有一道关于隐函数求导的题目，很多考生在求解过程中出现了错误。题目给出方程x3 + y3 3axy = a3，要求求全微分dy。不少同学直接对方程两边求导，但忽略了y是x的函数，导致结果错误。

正确做法是使用隐函数求导法则。对方程两边关于x求导，得到3x2 + 3y2 dy 3ay 3axy' = 0。整理后可得y' = (x2 + ay)/x。进一步求全微分dy，需要将y'代入dy = y'dx，得到dy = [(x2 + ay)/x]dx。这个过程看似简单，但很多考生容易忽略y'的表达式需要整理，或者直接将y'写为dy/dx的形式而不进行代换。

问题三：线性代数中的特征值计算

2019年数学一真题中有一道关于矩阵特征值的题目，考察了考生对抽象矩阵特征值性质的理解。题目要求计算矩阵A100的行列式，其中A为一个2阶矩阵。很多考生直接尝试计算A的特征值，但忽略了题目并未给出矩阵的具体形式。

正确解法是利用矩阵特征值的性质。根据线性代数知识，对于2阶矩阵A，其特征值满足λ1λ2 = det(A)。题目中虽然没有给出矩阵A的具体形式，但通过分析题目条件，可以推断出A的特征值λ1和λ2的乘积为1。因此，A100的特征值为λ1100和λ2100，其乘积为(λ1100)(λ2100) = (λ1λ2)100 = 1100 = 1。所以det(A100) = 1，这也是很多考生容易忽略的关键点。