2018年考研数学二高频考点深度解析与解题技巧

2018年的考研数学二考试中，不少考生反映部分题目难度较大，尤其是涉及到函数、极限、微分方程等核心知识点。为了帮助考生更好地应对此类问题，本文整理了当年数学二中的常见疑问，并结合具体案例进行深入解析。通过系统梳理易错点与解题思路，考生能够更清晰地把握考试方向，提升应试能力。以下内容将围绕几个关键问题展开，力求以通俗易懂的方式解答考生的疑惑。

问题一：函数零点与连续性问题的求解技巧

在2018年数学二的试卷中，关于函数零点与连续性的题目占比较大，不少考生在处理这类问题时容易陷入误区。例如，如何判断一个函数在某个区间内是否存在零点？又该如何利用连续性证明零点的存在性？这些问题看似简单，实则需要考生对相关定理有深入理解。

解题思路与案例解析

要明确零点定理的应用条件：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则存在至少一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。在具体解题时，考生需要先验证函数的连续性，再判断端点函数值的符号。例如，对于函数f(x)=x3-3x+1，若要证明其在(-2,-1)区间内存在零点，可以先计算f(-2)=-8+6-1=-3，f(-1)=-1+3-1=1，发现端点函数值异号，因此根据零点定理可知存在零点。

对于涉及介值定理的问题，考生还需注意区分零点定理与介值定理的应用场景。介值定理强调的是函数在某个区间内取到任意介于端点函数值之间的值，而零点定理则特指取到0值的情况。在2018年的真题中，曾有一道题目要求证明方程x3-px+q=0在(0,1)区间内存在零点，考生需要先利用导数分析函数的单调性，再结合端点函数值判断零点存在性。这类问题往往需要综合运用多个知识点，考生在备考时应加强此类综合性题目的训练。

问题二：微分方程初值问题的求解方法

微分方程是考研数学二的重点考查内容，2018年的试卷中涉及一阶线性微分方程、可分离变量方程以及高阶微分方程的题目均出现了较高频率。不少考生在求解过程中容易忽略初始条件的应用，或对通解与特解的关系理解不清。

解题思路与案例解析

在求解微分方程时，首先要明确方程类型，选择合适的解法。例如，对于一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)，考生应熟练掌握积分因子的求解方法。积分因子μ(x)=e∫p(x)dx，将原方程变形为(μ(x)y)'=μ(x)q(x)，再两边积分即可得到通解。

以2018年真题中的一道题目为例：求解微分方程y'-(2/x)y=4xlnx，考生可以先计算积分因子μ(x)=e(-2lnx)=x-2，代入原方程得(1/x2)y)'=4lnx/x，两边积分后得到通解y=x2(C+2lnx-1)。在得到通解后，一定要代入初始条件求出特解，这一点是很多考生容易忽略的。

对于高阶微分方程，考生还需掌握降阶法与特征方程法。例如，对于y''+py'+qy=0这类二阶常系数齐次方程，需要先求特征方程r2+pr+q=0的根，再根据根的情况写出通解。若特征根为实根r1、r2，则通解为y=C1er1x+C2er2x；若为重根r，则通解为y=(C1+C2x)erx；若为复根α±βi，则通解为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。在2018年的真题中，曾有一道题目要求求解y''-3y'+2y=0的通解，考生需要先求特征方程r2-3r+2=0，解得r1=1,r2=2，因此通解为y=C1ex+C2e2x。

问题三：定积分的计算技巧与反常积分的判敛

定积分与反常积分是考研数学二的另一个高频考点，2018年的试卷中涉及换元积分法、分部积分法以及反常积分敛散性判定的题目均出现了较高频率。不少考生在处理反常积分时容易忽略积分区间的无穷性或无界点，导致计算错误。

解题思路与案例解析

在计算定积分时，换元积分法与分部积分法是核心技巧。例如，对于被积函数含有根式或三角函数的积分，应优先考虑换元法。以2018年真题中的一道题目为例：计算∫[0,1]dx/(x√(1-x2))，考生可以选择三角换元x=sinθ，则dx=cosθdθ，积分区间变为[0,π/2]，原积分变为∫[0,π/2]dθ/θ，这是一个著名的反常积分，其值为ln2。

对于反常积分的判敛，考生需要掌握比较判敛法与极限判敛法。例如，对于∫[1,+∞](lnx/xp)dx，当p>1时积分收敛，当p≤1时积分发散。在2018年的真题中，曾有一道题目要求判断∫[1,+∞](lnx/x3)dx的敛散性，考生可以直接使用p=3>1得出积分收敛，也可以使用比较判敛法与ex>lnx得出结论。

在处理含有瑕点的反常积分时，考生需要先确定瑕点位置，再分段计算。例如，对于∫[0,1]dx/(x√(1-x))，x=0是瑕点，需要将积分拆分为∫[ε,1]dx/(x√(1-x))，再令1-x=t换元，最后取极限ε→0计算。这类问题看似简单，实则需要考生对反常积分的定义有清晰理解，不少考生容易忽略分段计算或极限取值的步骤。