考研数学二高频考点深度解析：李永乐老师为你解惑

考研数学二作为众多工科学生的关键备考科目，其难度和复杂性不言而喻。李永乐老师的《考研数学复习全书》和配套习题集深受考生喜爱，但备考过程中仍会遇到不少困惑。本文将结合李永乐老师的教学理念，针对3-5个高频考点进行深度解析，帮助考生攻克难点，提升解题能力。内容涵盖一元函数微分学、积分学及常微分方程等核心内容，力求解答详尽且贴近实战。

问题一：一元函数微分中值定理的应用技巧

不少考生在解题时会遇到中值定理的“选点”难题，尤其是在证明等式或不等式时，往往不知如何下手。李永乐老师强调，关键在于灵活运用罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的衔接。例如，在证明某函数存在零点时，常需构造辅助函数，并验证其满足定理条件。以拉格朗日中值定理为例，其核心是找到满足f(b) f(a) = f'(&945;)·(b-a)的&945;，此时需结合导数定义和连续性分析。李老师建议，做题时先明确目标，再反推条件，逐步缩小范围。

问题二：积分学中的换元与分部积分技巧

积分计算是考研数学二的难点之一，尤其涉及复合函数或三角函数时，换元法容易出错。李永乐老师指出，换元时需注意“同步改变积分限”，如对x2dx，若令x=√t，则积分限从0到1需对应为0到1。分部积分中，他总结出“反对幂指三”的优先级法则：对反三角函数优先配对数，幂函数配指数等。以∫xsin2xdx为例，先用三角恒等式降幂，再分部积分，最终得到x2/4 sin2x/8 + C的解析解。这种分层处理方法值得考生借鉴。

问题三：常微分方程的求解策略

李永乐老师特别强调，线性微分方程y' + p(x)y = q(x)的求解需分两步：先求齐次解y=Ke∫p(x)dx，再叠加特解。对于可降阶的高阶方程，他建议通过变量代换转化为微分方程组。例如，y''+y'=0可令z=y'，转化为y'-z=0和z'-z=0的联立方程。在求解伯努利方程时，关键在于除以yn后的变量替换。李老师提醒，做题时需先判断方程类型，再选择最简方法，避免盲目套用公式导致错误。