会计考研数学三真题常见考点深度解析
会计专业考研数学三真题不仅考察考生对基础知识的掌握程度，更注重实际应用能力的综合体现。历年真题中，微积分、线性代数和概率统计是三大核心板块，其中常微分方程、多元函数微分学和矩阵运算等知识点反复出现。考生在备考过程中，需结合真题分析出题规律，把握命题趋势，尤其是那些每年必考的基础题型和综合性难题。本文将从真题中提炼出5个典型问题，结合详细解析，帮助考生突破重难点，提升应试水平。
问题一：多元函数微分在经济学中的应用
在2020年数学三真题中，有这样一道题：已知生产函数Q(x?,x?)=12x?0.5x?0.5，其中x?和x?分别表示两种投入要素，求当x?=9，x?=16时的边际产量，并解释其经济意义。
解答：我们需要计算生产函数Q(x?,x?)对x?和x?的偏导数。根据多元函数微分法则，得到：
Q'_x? = 6x?(-0.5)x?0.5
Q'_x? = 6x?0.5x?(-0.5)
将x?=9，x?=16代入上述偏导数公式，可得：
Q'_x?(9,16) = 6×9(-0.5)×160.5 = 6×(1/3)×4 = 8
Q'_x?(9,16) = 6×90.5×16(-0.5) = 6×3×(1/4) = 4.5
因此，当投入要素x?=9，x?=16时，第一种要素的边际产量为8，第二种要素的边际产量为4.5。经济意义上，边际产量表示在保持其他要素投入不变的情况下，每增加一个单位的投入要素所带来的产出增量。这个结果说明，在当前投入组合下，第一种要素的产出效率更高，企业可以通过调整投入比例来优化资源配置，提高生产效率。
问题二：线性代数中的矩阵运算问题
在2019年真题中，有这样一道题：设矩阵A和B满足关系式AB=2A+B，其中A为3阶矩阵，B为3阶可逆矩阵，求矩阵A的逆矩阵。
AB 2A = B
提取公因式A，得到：
A(B-2I) = B
由于B是可逆矩阵，我们可以两边同时右乘B的逆矩阵B(-1)，得到：
A(B-2I)B(-1) = BB(-1)
化简后可得：
A = 2I + B(B-2I)(-1)
接下来，我们需要计算矩阵B(B-2I)(-1)。由于B是具体给定的矩阵，我们可以通过矩阵运算直接求解。假设B矩阵已知，则可以通过初等行变换等方法求解B(B-2I)(-1)，进而得到A矩阵的表达式。最终，通过A矩阵的表达式可以进一步求解A的逆矩阵。
问题三：概率统计中的正态分布应用
在2021年数学三真题中，有这样一道题：已知某城市成年男性的身高服从正态分布N(170,102)，随机抽取5名成年男性，求这5人中至少有3人身高超过180厘米的概率。
解答：我们需要计算单个成年男性身高超过180厘米的概率。根据正态分布的性质，有：
P(X>180) = 1 P(X≤180) = 1 Φ((180-170)/10) = 1 Φ(1) = 1 0.8413 = 0.1587
其中，Φ(1)表示标准正态分布下，随机变量小于1的概率，可以通过标准正态分布表查得。因此，单个成年男性身高超过180厘米的概率为0.1587。
接下来，我们需要计算5人中至少有3人身高超过180厘米的概率。这是一个二项分布问题，可以用二项分布公式求解：
P(X≥3) = ∑[k=3 to 5] C(5,k)×(0.1587)k×(1-0.1587)(5-k)
计算得到：
P(X≥3) = C(5,3)×(0.1587)3×(0.8413)2 + C(5,4)×(0.1587)4×(0.8413)1 + C(5,5)×(0.1587)5×(0.8413)0
≈ 0.0405
因此，5人中至少有3人身高超过180厘米的概率约为0.0405，即4.05%。
问题四：常微分方程在经济模型中的应用
在2022年真题中，有这样一道题：设某商品的市场需求量D和供给量S都是价格p的函数，且满足关系式dD/dp=-10，dS/dp=20，初始条件为p(0)=5，D(5)=100，S(5)=50。求市场均衡价格p(t)的表达式。
解答：根据题意，我们可以列出需求函数D(p)和供给函数S(p)的微分方程：
dD/dp = -10
dS/dp = 20
对上述微分方程进行积分，得到：
D(p) = -10p + C?
S(p) = 20p + C?
根据初始条件p(0)=5，D(5)=100，S(5)=50，我们可以求解常数C?和C?：
当p=5时，D(5)=-10×5+C?=100，解得C?=150
当p=5时，S(5)=20×5+C?=50，解得C?=-50
因此，需求函数和供给函数分别为：
D(p) = -10p + 150
S(p) = 20p 50
市场均衡条件为D(p)=S(p)，即：
-10p + 150 = 20p 50
解得均衡价格p=10
因此，市场均衡价格p(t)为常数10，即市场在均衡状态下，价格将保持在10的水平上。
问题五：多元函数极值在经济管理中的应用
在2023年数学三真题中，有这样一道题：某公司生产两种产品A和B，成本函数为C(x,y)=x2+2xy+y2+10，其中x和y分别表示两种产品的产量。若公司预期总收益为R(x,y)=8x+12y-x2-y2，求公司如何安排生产才能获得最大利润。
解答：我们需要建立利润函数L(x,y)。利润函数是总收益减去总成本，即：
L(x,y) = R(x,y) C(x,y) = (8x+12y-x2-y2) (x2+2xy+y2+10)
化简后得到：
L(x,y) = -2x2-2xy-2y2+8x+12y-10
为了求利润函数的极值，我们需要计算偏导数并令其为零：
?L/?x = -4x-2y+8 = 0
?L/?y = -2x-4y+12 = 0
解这个方程组，得到：
x=2，y=2
为了验证这个点是否为极大值点，我们需要计算二阶偏导数：
?2L/?x2 = -4，?2L/?y2 = -4，?2L/?x?y = -2
判别式Δ = (?2L/?x?y)2 (?2L/?x2)(?2L/?y2) = (-2)2 (-4)(-4) = 4-16=-12
由于Δ<0，且?2L/?x2<0，因此(x=2,y=2)是极大值点。
因此，当公司生产两种产品的产量分别为2时，可以获得最大利润。这个结果对企业管理者具有重要的指导意义，通过优化生产组合，可以显著提高企业的盈利能力。