2015年考研数学二真题难点解析与备考技巧分享

2015年的考研数学二真题在难度和题型设计上颇具特色，不少考生在答题过程中遇到了各种难题。本文将针对真题中的重点难点进行详细解析，并结合备考技巧帮助考生更好地应对类似问题。无论是极限计算、微分方程还是几何证明，我们都会提供清晰的思路和步骤，让考生在复习中少走弯路。

常见问题解答

问题1：2015年数学二真题中关于函数极限的题目如何求解？

在2015年数学二真题中，函数极限的题目主要考察了考生对洛必达法则和等价无穷小的掌握程度。这类题目往往涉及复杂的分式或根式极限，需要考生灵活运用不同方法。例如，有一道题目要求计算极限 lim(x→0) [sin(x) x]/(x3)，很多考生在初次尝试时可能会直接套用洛必达法则，但这样会导致计算过程异常繁琐。正确的方法是先利用等价无穷小替换，将 sin(x) ≈ x x3/6 代入原式，再进行化简。这样不仅步骤更清晰，也能有效避免出错。考生还需要注意洛必达法则的使用条件，比如分母的极限是否为0，否则会导致计算方向错误。通过这类题目的练习，考生可以更深入地理解极限的计算技巧，为后续的学习打下坚实基础。

问题2：微分方程部分的题目有哪些解题技巧？

2015年数学二真题中的微分方程题目主要考察了一阶线性微分方程和二阶常系数微分方程的求解。不少考生在解题时容易混淆不同类型的方程，导致步骤混乱。以一阶线性微分方程为例，其标准形式为 y' + p(x)y = q(x)，解题时需要先求出积分因子 μ(x) = e∫p(x)dx，再通过乘以积分因子将方程转化为 (μ(x)y)' = μ(x)q(x)，最后积分即可得到通解。而在求解二阶常系数微分方程时，考生需要熟练掌握特征方程的解法。例如，对于方程 y'' 3y' + 2y = 0，其特征方程为 r2 3r + 2 = 0，解得 r1=1, r2=2，因此通解为 y = C1ex + C2e2x。值得注意的是，当特征根为重根时，通解形式会有所不同，考生需要特别注意区分。通过大量练习这类题目，考生可以逐步掌握微分方程的解题规律，提高解题效率。

问题3：几何证明题如何找到解题突破口？

2015年数学二真题中的几何证明题往往涉及平面图形、空间几何体或向量运算，对考生的空间想象能力和逻辑推理能力提出了较高要求。以一道典型的空间几何证明题为例，题目要求证明三棱锥顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。很多考生在解题时容易陷入繁琐的坐标计算，而忽略了利用几何性质寻找突破口。正确的方法是先分析三棱锥的对称性，发现顶点到底面三边的距离相等，这意味着射影是底面三角形内心的特殊情况。再进一步考虑特殊情形，当三棱锥为正三棱锥时，内心与外心重合，从而得到一般结论。这类题目考察的不仅是计算能力，更是考生能否从复杂问题中提炼出本质规律的能力。因此，考生在备考时不仅要注重基础知识的掌握，还要多思考、多总结，培养自己的解题思维。