考研数学：极限与连续性中的核心难点解析

在考研数学的备考过程中，极限与连续性是基础但又极易混淆的知识点。它们不仅是后续微积分学习的基础，也是考试中的常考点。很多同学在理解极限的定义、性质以及连续性的判定时会遇到困难，尤其是在处理复杂函数的极限问题时。本文将从常见的疑问出发，结合典型例题，帮助考生深入理解这些概念，并掌握解题技巧。

常见问题解答

问题一：如何准确理解极限的ε-δ语言定义？

极限的ε-δ语言定义是考研数学中的难点之一，很多同学对其理解不够透彻。ε-δ定义的核心思想是：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当自变量x的取值满足0＜x-a＜δ时，函数f(x)的取值满足f(x)-A＜ε。这里的关键在于理解ε和δ的相互依赖关系，即ε越小，δ也相应越小。举个例子，比如证明lim (x→2) (x2-4)=0，我们可以选择δ=ε，因为当x-2＜δ时，有(x2-4)-0＜ε成立。这个过程中，需要通过不等式变形，找到δ与ε的具体关系，从而验证定义的正确性。

问题二：函数在某点连续与在该点有极限有何区别？

函数在某点连续与在该点有极限是两个不同的概念。函数f(x)在点x?处有极限，意味着当x无限接近x?时，f(x)无限接近某个确定的值A。而函数f(x)在点x?处连续，不仅要求在该点有极限，还要求函数在该点的值等于极限值，即f(x?)=A。换句话说，连续性是极限的“升级版”。例如，函数f(x)={x, x≠1, 2, x=1